Номер 479, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 479, страница 185.

479 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

а) Пять друзей: Коля, Саша, Ваня, Петя и Толя — достали два билета на новый фильм. Кто пойдёт в кино, решили определить с помощью жребия. Какова вероятность того, что это будут Коля и Саша?

б) Кодовый замок имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Он открывается одновременным нажатием трёх определённых кнопок. Какова вероятность того, что человек, не знающий кода, откроет замок с первого раза?

а)

Для решения этой задачи нужно найти общее количество способов выбрать двух друзей из пяти и количество благоприятных исходов.

Общее число исходов — это количество сочетаний из 5 элементов по 2, так как порядок, в котором выбирают друзей, не имеет значения. Это можно рассчитать по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=5$ — общее количество друзей, а $k=2$ — количество билетов.

Подставим значения в формулу:

$N = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, существует 10 возможных пар друзей, которые могут пойти в кино.

Благоприятным исходом является тот, при котором билеты достанутся Коле и Саше. Такая пара только одна, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность $P$ наступления события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б)

Для решения этой задачи нужно определить общее количество возможных комбинаций для открытия замка.

Замок имеет 10 кнопок, а код состоит из одновременного нажатия трёх из них. Поскольку нажатие одновременное, порядок кнопок не важен. Следовательно, мы должны найти общее количество сочетаний из 10 кнопок по 3.

Используем ту же формулу числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=10$ — общее количество кнопок, а $k=3$ — количество кнопок в коде.

Подставим значения:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных комбинаций из трёх кнопок.

Правильная комбинация только одна, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность угадать правильную комбинацию с первой попытки равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных комбинаций:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.