Номер 480, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 480, страница 185.

480 В урне находится 4 синих и 2 красных шара, одинаковые на ощупь. Не глядя из неё вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они синие?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

В урне находится $4$ синих и $2$ красных шара, что в сумме составляет $4 + 2 = 6$ шаров. Необходимо найти вероятность того, что 3 шара, вынутые наугад, окажутся синими.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов ($N$). Это количество способов выбрать 3 шара из 6 имеющихся. Так как порядок выбора шаров не важен, используем формулу для числа сочетаний:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов ($N$) при $n=6$ (общее количество шаров) и $k=3$ (количество вынимаемых шаров) равно:$N = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.Таким образом, существует 20 различных комбинаций из 3 шаров, которые можно вынуть из урны.

Теперь найдем число благоприятных исходов ($m$). Благоприятный исход — это выбор 3 синих шаров. В урне имеется 4 синих шара, поэтому нам нужно найти количество способов выбрать 3 шара из этих 4.

Число благоприятных исходов ($m$) при $n=4$ (количество синих шаров) и $k=3$ (количество вынимаемых синих шаров) равно:$m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.Следовательно, существует 4 способа выбрать 3 синих шара.

Вероятность того, что все 3 вынутых шара окажутся синими, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Эту же задачу можно решить, используя теорему умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность того, что первый шар синий, равна $\frac{4}{6}$. Если первый шар синий, то для второго шара вероятность быть синим составит $\frac{3}{5}$ (так как осталось 3 синих шара из 5). Вероятность для третьего синего шара будет $\frac{2}{4}$. Итоговая вероятность:$P = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$