Номер 478, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 478, страница 184.

478 Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний.

Для доказательства формулы для нахождения числа сочетаний установим связь между тремя основными понятиями комбинаторики: размещениями, перестановками и сочетаниями.

Размещением из $n$ элементов по $k$ ($A_n^k$) называется упорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов. Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Перестановкой из $k$ элементов ($P_k$) называется любое упорядоченное расположение этих $k$ элементов. Формула для числа перестановок:

$P_k = k!$

Сочетанием из $n$ элементов по $k$ ($C_n^k$) называется неупорядоченный набор (подмножество) из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов. Наша цель — доказать формулу для $C_n^k$.

Рассмотрим процесс создания размещения из $n$ по $k$. Его можно представить как выполнение двух последовательных действий:

1. Сначала выбрать $k$ элементов из $n$ без учета их порядка. Число способов сделать это равно по определению числу сочетаний $C_n^k$.
2. Затем упорядочить (выполнить перестановку) эти $k$ выбранных элементов. Число способов сделать это равно числу перестановок $P_k$.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число размещений $A_n^k$ равно произведению числа способов на каждом шаге:

$A_n^k = C_n^k \cdot P_k$

Из этого равенства мы можем выразить искомое число сочетаний $C_n^k$:

$C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$

Теперь подставим в это выражение известные формулы для числа размещений $A_n^k$ и числа перестановок $P_k$:

$C_n^k = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}$

После упрощения полученной дроби, мы приходим к искомой формуле для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Таким образом, мы доказали формулу для нахождения числа сочетаний, используя формулы для числа размещений и числа перестановок.

Ответ: Формула для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ доказывается через логическую связь между размещениями, сочетаниями и перестановками, которая выражается равенством $A_n^k = C_n^k \cdot P_k$. Выразив из этого равенства $C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$ и подставив известные формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_k = k!$, мы получаем требуемую формулу.