Номер 2, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Вероятность и комбинаторика. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 2, страница 187.

2 Одновременно бросают 2 кубика: белый и чёрный.

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?

б) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, больше числа, выпавшего на чёрном кубике?

в) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, не превосходит числа, выпавшего на чёрном кубике?

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?
Каждый игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Это означает, что при броске одного кубика существует 6 возможных исходов. В эксперименте одновременно бросают два кубика: белый и чёрный. Поскольку результат броска одного кубика не зависит от результата броска другого, общее количество возможных исходов находится как произведение числа исходов для каждого кубика (согласно правилу умножения в комбинаторике).
Пусть $N_б$ — количество исходов для белого кубика, а $N_ч$ — количество исходов для чёрного кубика. Тогда общее число исходов $N$ равно:
$N = N_б \times N_ч = 6 \times 6 = 36$.
Таким образом, у эксперимента 36 возможных исходов, каждый из которых представляет собой упорядоченную пару чисел (результат белого кубика, результат чёрного кубика).
Ответ: 36

б) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, больше числа, выпавшего на чёрном кубике?
Вероятность события определяется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.
Из пункта а) мы знаем, что общее число исходов $N = 36$.
Рассмотрим событие A: «число на белом кубике больше числа на чёрном». Обозначим число на белом кубике как Б, а на чёрном — как Ч. Нам нужно найти вероятность события Б > Ч.
Все 36 исходов можно разделить на три непересекающиеся группы:
1. Число на белом кубике больше, чем на чёрном (Б > Ч).
2. Число на чёрном кубике больше, чем на белом (Ч > Б).
3. Числа на кубиках равны (Б = Ч).
Из-за симметрии (кубики стандартные и равновероятные) количество исходов в группе 1 (Б > Ч) равно количеству исходов в группе 2 (Ч > Б).
Найдем количество исходов в группе 3 (Б = Ч). Это пары: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 таких исходов.
Число исходов, где значения на кубиках не равны: $36 - 6 = 30$.
Эти 30 исходов поровну распределяются между группами 1 и 2. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m$ для события «Б > Ч» равно: $m = \frac{30}{2} = 15$.
Теперь можем вычислить вероятность:
$P(\text{Б > Ч}) = \frac{m}{N} = \frac{15}{36}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$P(\text{Б > Ч}) = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$

в) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, не превосходит числа, выпавшего на чёрном кубике?
Событие B: «число на белом кубике не превосходит числа на чёрном кубике» означает, что число на белом кубике меньше или равно числу на чёрном (Б ≤ Ч).
Это событие является противоположным (дополнительным) событию A из пункта б) «число на белом кубике больше числа на чёрном» (Б > Ч).
Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. То есть, $P(A) + P(\text{не } A) = 1$.
В нашем случае $P(\text{Б ≤ Ч}) = 1 - P(\text{Б > Ч})$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(\text{Б > Ч}) = \frac{5}{12}$.
Следовательно, искомая вероятность равна:
$P(\text{Б ≤ Ч}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
Проверка: Событие «Б ≤ Ч» можно разбить на два непересекающихся события: «Б < Ч» и «Б = Ч». Количество исходов для «Б < Ч» равно 15 (по симметрии с «Б > Ч»). Количество исходов для «Б = Ч» равно 6. Общее число благоприятных исходов: $15 + 6 = 21$. Вероятность: $\frac{21}{36} = \frac{7}{12}$. Результат совпадает.
Ответ: $\frac{7}{12}$