Номер 481, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 481, страница 185.

481 Девять карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выложили в ряд. Какова вероятность того, что получившееся четырёхзначное число делится на 5?

Для решения задачи используем классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов, $n$. Мы составляем четырёхзначные числа из 9 различных карточек, выкладывая 4 из них в ряд. Так как порядок карточек важен, количество всех возможных комбинаций является числом размещений из 9 элементов по 4. Оно вычисляется по формуле:

$n = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

Таким образом, всего можно составить 3024 различных четырёхзначных числа.

Далее найдем число благоприятных исходов, $m$. Благоприятным исходом является получение четырёхзначного числа, которое делится на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5. В нашем наборе карточек (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) есть только цифра 5. Следовательно, для того чтобы число делилось на 5, на последнем (четвёртом) месте обязательно должна стоять карточка с цифрой 5.

Зафиксируем карточку с цифрой 5 на последнем месте. Для этого есть только 1 способ.

Оставшиеся три места в числе нужно заполнить оставшимися $9-1=8$ карточками. Количество способов выбрать 3 карточки из 8 и расставить их по трём позициям также является числом размещений, но уже из 8 по 3:

$m = A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

Итак, число благоприятных исходов равно 336.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{336}{3024}$.

Сократим эту дробь. Заметим, что $3024 = 9 \times 336$.

$P = \frac{336}{9 \times 336} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$