Номер 476, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 476, страница 184.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477);

476

Сколькими способами можно выбрать 2 яблока и 3 груши из вазы с фруктами, в которой лежит 7 яблок и 5 груш?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторное правило произведения, так как выбор яблок и выбор груш являются независимыми событиями. Общее количество способов будет равно произведению количества способов выбрать яблоки на количество способов выбрать груши.

Поскольку порядок, в котором выбираются фрукты, не имеет значения, для нахождения количества способов в каждом случае мы будем использовать формулу для числа сочетаний из n элементов по k: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 2 яблока из 7 имеющихся равно числу сочетаний из 7 по 2:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.

Количество способов выбрать 3 груши из 5 имеющихся равно числу сочетаний из 5 по 3:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Теперь, используя правило произведения, найдем общее количество способов выбрать 2 яблока и 3 груши:
$N = C_7^2 \times C_5^3 = 21 \times 10 = 210$.

Ответ: 210.