Номер 470, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 470, страница 184.

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (№ 469–471):

470 а) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, чтобы расставить их по этапам эстафеты $4 \times 100$ м?

б) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, которые побегут стометровку?

а) В данной задаче важен порядок выбора спортсменов, так как каждый из них будет расставлен на определённый этап эстафеты (первый, второй, третий или четвёртый). Если поменять двух спортсменов местами, получится новая комбинация для эстафеты. Следовательно, речь идет о размещениях, где важен порядок элементов в выборке.
Число способов выбрать и расставить 4 спортсменов из 10 вычисляется по формуле для размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 10$ (общее число спортсменов), а $k = 4$ (число спортсменов в эстафете):
$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.
Таким образом, существует 5040 способов выбрать и расставить четырёх спортсменов по этапам эстафеты.
Ответ: 5040

б) В этой задаче требуется просто выбрать четырёх спортсменов из десяти, которые примут участие в забеге на 100 метров. Порядок, в котором их выбирают, не имеет значения, так как все они будут выполнять одно и то же действие, и не сказано про распределение по разным дорожкам или забегам. Группа из четырёх спортсменов останется той же самой, независимо от последовательности их выбора. Следовательно, мы имеем дело с сочетаниями.
Число способов выбрать 4 спортсменов из 10 вычисляется по формуле для сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 10$ и $k = 4$:
$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$.
Таким образом, существует 210 способов выбрать четырёх спортсменов для забега.
Ответ: 210