Номер 468, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.4 Статистическое оценивание и прогноз. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 468, страница 181.

468 Из озера выловили 64 рыбы, всех их пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный вылов; на этот раз поймали 50 рыб, среди которых оказалась одна помеченная. Какова вероятная численность рыб в озере? Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной?

Какова вероятная численность рыб в озере?

Для решения этой задачи используется метод мечения и повторного отлова (метод Петерсена), который позволяет оценить размер популяции. Основное предположение метода заключается в том, что доля помеченных рыб в повторном улове пропорциональна доле помеченных рыб во всей популяции.

Пусть $N$ — это общая (неизвестная) численность рыб в озере.

Изначально было выловлено и помечено $M = 64$ рыбы.

Во втором улове было поймано $C = 50$ рыб.

Среди них оказалась $R = 1$ помеченная рыба.

Доля помеченных рыб во всей популяции равна $\frac{M}{N} = \frac{64}{N}$.

Доля помеченных рыб во втором улове равна $\frac{R}{C} = \frac{1}{50}$.

Приравниваем эти доли, чтобы найти $N$:

$\frac{64}{N} = \frac{1}{50}$

Отсюда, используя свойство пропорции, получаем:

$N \cdot 1 = 64 \cdot 50$

$N = 3200$

Таким образом, вероятная численность рыб в озере составляет 3200.

Ответ: Вероятная численность рыб в озере составляет 3200.

Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной?

Если бы в повторном улове из $C = 50$ рыб не оказалось ни одной помеченной, то $R$ было бы равно 0.

В этом случае наша пропорция выглядела бы так:

$\frac{64}{N} = \frac{0}{50}$

$\frac{64}{N} = 0$

Это уравнение не имеет математического решения, так как дробь с ненулевым числителем (64) не может быть равна нулю.

С точки зрения биологии и статистики, такой результат (отсутствие помеченных рыб в повторной выборке) говорит о том, что 64 помеченные рыбы были сильно "разбавлены" в общей популяции. Это означает, что общая численность рыб $N$ настолько велика по сравнению с количеством помеченных рыб $M=64$, что вероятность поймать хотя бы одну из них в улове из 50 штук оказалась очень низкой.

Следовательно, можно было бы сделать вывод, что популяция рыб в озере очень велика, и данный метод в этом конкретном случае не позволяет дать точную численную оценку, а лишь указывает на то, что численность значительно превышает ту, что была рассчитана в первом пункте.

Ответ: Можно было бы сказать, что количество рыб в озере очень велико, и данный метод не позволяет дать точную оценку численности популяции.