Номер 469, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 469, страница 184.

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (№ 469–471):

469 a) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг с тремя горизонтальными полосами, если имеется материал 12 различных цветов?

б) Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 12 различных красок?

а)

В задаче о флаге важен порядок расположения цветов, так как полосы на флаге (верхняя, средняя и нижняя) различны. Например, флаг с последовательностью цветов "белый-синий-красный" отличается от флага с последовательностью "красный-синий-белый", даже если используется один и тот же набор цветов. Когда порядок элементов важен, мы используем размещения.

Число способов выбрать и расположить 3 цвета из 12 имеющихся вычисляется по формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n = 12$ (общее количество цветов) и $k = 3$ (количество полос на флаге).

$A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$.

Это можно также посчитать по правилу умножения: для первой полосы есть 12 вариантов цвета, для второй остаётся 11 вариантов, а для третьей — 10. Итого: $12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ способов.

Ответ: 1320 способами.

б)

В задаче о выборе красок нужно просто составить набор из 3 красок. Порядок, в котором мы их выбираем, не имеет значения. Набор красок {красная, желтая, зеленая} — это тот же самый набор, что и {желтая, зеленая, красная}. Когда порядок элементов не важен, мы используем сочетания.

Число способов выбрать 3 краски из 12 вычисляется по формуле для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n = 12$ (общее количество красок) и $k = 3$ (количество красок, которые нужно выбрать).

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$.

Ответ: 220 способами.