Номер 472, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 472, страница 184.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

472 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36 в карточке «Спортлото: 5 из 36»?

В задаче требуется найти количество способов выбрать 5 номеров из 36. Поскольку порядок, в котором зачеркиваются номера, не важен, мы имеем дело с сочетаниями.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество номеров $n = 36$, а количество номеров для выбора $k = 5$.

Подставим значения в формулу:

$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!}$

Теперь распишем факториалы и проведем вычисления:

$C_{36}^5 = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!}{5! \cdot 31!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

• $36$ делится на $4 \cdot 3 = 12$, в результате остается $3$.
• $35$ делится на $5$, в результате остается $7$.
• $32$ делится на $2$, в результате остается $16$.

Таким образом, выражение для вычисления упрощается до:

$C_{36}^5 = 3 \cdot 7 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 16$

Вычислим произведение:

$3 \cdot 7 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 16 = 21 \cdot (34 \cdot 33) \cdot 16 = 21 \cdot 1122 \cdot 16 = 23562 \cdot 16 = 376992$

Следовательно, существует 376 992 способа зачеркнуть 5 номеров из 36.

Ответ: 376 992 способа.