Номер 471, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 471, страница 184.

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (№ 469–471):

471 a) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду для игры на первой, второй, третьей, четвёртой, пятой досках в турнире?

б) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду из 5 человек для игры в турнире?

а) В данной задаче требуется выбрать 5 человек из 15 и назначить каждого на одну из пяти конкретных досок (первую, вторую, третью, четвертую, пятую). Поскольку замена игроков на досках создает новую расстановку, порядок выбора игроков имеет значение. Следовательно, для решения этой задачи необходимо использовать формулу для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число человек $n = 15$, а количество мест в команде (досок) $k = 5$.

Подставим значения в формулу и вычислим количество способов:

$A_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)!} = \frac{15!}{10!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 360360$

Таким образом, существует 360 360 способов сформировать команду с расстановкой игроков по доскам.

Ответ: 360 360.

б) В этом случае требуется просто выбрать 5 человек из 15 для формирования команды. Конкретные позиции или доски для игроков не указаны, поэтому порядок их выбора не имеет значения. Важен только итоговый состав группы из 5 человек. Для решения такой задачи используется формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь также общее число человек $n = 15$ и размер команды $k = 5$.

Подставим значения в формулу и вычислим количество способов:

$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим дробь для удобства вычислений:

$C_{15}^5 = \frac{15}{5 \cdot 3} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{14}{2} \cdot 13 \cdot 11 = 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 11 = 3003$

Следовательно, существует 3 003 способа набрать команду из 5 человек.

Ответ: 3 003.