Номер 475, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 475, страница 184.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477);

475 Сколькими способами из 30 учеников математического класса можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? троих? четверых?

Поскольку при выборе учеников для участия в олимпиаде порядок их выбора не важен, а имеет значение только итоговый состав команды, для решения задачи необходимо использовать формулу для числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае общее число учеников $n = 30$.

двоих
Необходимо выбрать $k=2$ учеников из 30. Рассчитаем число сочетаний:
$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2 \cdot 1} = 29 \cdot 15 = 435$.
Ответ: 435.

троих
Необходимо выбрать $k=3$ учеников из 30. Рассчитаем число сочетаний:
$C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 28 \cdot 29 \cdot 5 = 4060$.
Ответ: 4060.

четверых
Необходимо выбрать $k=4$ учеников из 30. Рассчитаем число сочетаний:
$C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30}{6} \cdot \frac{28}{4} \cdot 29 \cdot 27 = 5 \cdot 7 \cdot 29 \cdot 27 = 27405$.
Ответ: 27405.