Номер 474, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 474, страница 184.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

474

На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

474.

Для построения одного треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые будут его вершинами. По условию задачи, на плоскости дано 10 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что любой выбор трех точек из десяти однозначно определяет треугольник.

Поскольку порядок выбора вершин для построения треугольника не важен (треугольник ABC — это тот же самый треугольник, что и BAC, CAB и т.д.), нам необходимо найти количество способов выбрать 3 точки из 10 без учета порядка. Такая задача решается с помощью нахождения числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний из n элементов по k имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче общее количество точек n = 10, а количество точек, необходимых для образования треугольника, k = 3.

Вычислим число сочетаний из 10 по 3:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Следовательно, можно составить 120 различных треугольников с вершинами в данных точках.

Ответ: 120.