Номер 477, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 477, страница 184.

Запишите решение задачи, используя обозначения для числа перестановок, размещений и сочетаний; для вычислений воспользуйтесь соответствующими формулами (№ 472–477):

477

В футбольной секции 24 человека, среди которых есть вратари Женя и Серёжа. Сколькими способами можно набрать футбольную команду (11 человек) так, чтобы в команду попал только один из этих вратарей?

По условию, в футбольной секции состоит 24 человека. Необходимо сформировать команду из 11 человек, в которую должен войти только один из двух вратарей — Женя или Серёжа.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторное правило произведения. Весь процесс выбора можно разбить на два независимых шага:

1. Выбор одного из двух вратарей для команды.
2. Выбор оставшихся 10 игроков из числа остальных членов секции.

Шаг 1: Выбор вратаря

Нужно выбрать 1 вратаря из 2 (Женя или Серёжа). Количество способов это сделать — это число сочетаний из 2 элементов по 1, которое обозначается как $C_2^1$.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2$ способа.

Шаг 2: Выбор остальных игроков

После того как вратарь выбран, нужно набрать в команду ещё $11 - 1 = 10$ полевых игроков. Этих игроков нужно выбрать из тех членов секции, которые не являются вратарями Женей или Серёжей. Таких людей в секции $24 - 2 = 22$ человека.

Количество способов выбрать 10 игроков из 22 — это число сочетаний из 22 по 10, обозначаемое как $C_{22}^{10}$.

$C_{22}^{10} = \frac{22!}{10!(22-10)!} = \frac{22!}{10!12!}$

Вычислим это значение:

$C_{22}^{10} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Последовательно сокращая множители, получаем:

$C_{22}^{10} = 11 \times 19 \times 17 \times 14 \times 13 = 646646$ способов.

Общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов сформировать команду по заданным условиям, нужно перемножить количество способов на каждом шаге:

$N = C_2^1 \times C_{22}^{10} = 2 \times 646646 = 1293292$

Ответ: 1293292