Номер 482, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.5 Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 482, страница 185.

482ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Вы, наверное, удивитесь, что число сочетаний из n по k обозначается так же, как и элемент треугольника Паскаля, расположенный в n-й строке на месте с номером k. Это не случайно, ведь это те же самые числа, они же — биномиальные коэффициенты.

1) Найдите по комбинаторной формуле, связывающей число сочетаний, размещений и перестановок, следующие сочетания: $C_6^1$, $C_6^2$, $C_6^3$, $C_6^4$, $C_6^5$. Сравните их с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля.

2) Найдите $C_7^3$, $C_8^4$, $C_{10}^4$ по формуле и сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.

3) Треугольник Паскаля можно задать так:

$C_n^0 = 1$, $C_n^n = 1$ (это границы треугольника),

$C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m$ (это позволяет найти число (n+1)-й строки по двум числам n-й строки).

Воспользовавшись формулой, найдите числа, стоящие в 7-й строке треугольника.

4) Докажите формулу из п. 3, воспользовавшись формулой числа сочетаний.

5) Докажите формулу $C_n^m = C_n^{n-m}$. Как расположены числа $C_n^m$ и $C_n^{n-m}$ в треугольнике Паскаля?

№ строки

0         1

1       1  1

2      1 2 1

3     1 3 3 1

4    1 4 6 4 1

5   1 5 10 10 5 1

6  1 6 15 20 15 6 1

.......................................

7 ...

1) Для нахождения значений сочетаний воспользуемся комбинаторной формулой $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

При $n=6$:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{6}{1} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6}{1} = 6$

Шестая строка треугольника Паскаля (нумерация строк с нуля) имеет вид: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Элементы этой строки, начиная со второго (с индексом $k=1$) и до предпоследнего (с индексом $k=5$), полностью совпадают с вычисленными значениями.

Ответ: $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$. Эти числа соответствуют элементам шестой строки треугольника Паскаля.

2) Найдем значения сочетаний по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$

Для сравнения с треугольником Паскаля, необходимо построить его до 10-й строки. Элемент $C_n^k$ находится в $n$-й строке на $(k+1)$-м месте. Построенные строки треугольника подтверждают вычисленные значения: $C_7^4 = 35$ (пятый элемент седьмой строки), $C_8^4 = 70$ (пятый элемент восьмой строки), $C_{10}^4 = 210$ (пятый элемент десятой строки).

Ответ: $C_7^4=35$, $C_8^4=70$, $C_{10}^4=210$. Результаты, полученные по формуле, совпадают с соответствующими числами в треугольнике Паскаля.

3) Воспользуемся рекуррентной формулой $C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m$ для нахождения чисел 7-й строки, используя числа 6-й строки ($n=6$).

Шестая строка: $C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1$.

Вычисляем числа седьмой строки ($n+1=7$):

По определению, $C_7^0=1$ и $C_7^7=1$.

$C_7^1 = C_6^0 + C_6^1 = 1 + 6 = 7$

$C_7^2 = C_6^1 + C_6^2 = 6 + 15 = 21$

$C_7^3 = C_6^2 + C_6^3 = 15 + 20 = 35$

$C_7^4 = C_6^3 + C_6^4 = 20 + 15 = 35$

$C_7^5 = C_6^4 + C_6^5 = 15 + 6 = 21$

$C_7^6 = C_6^5 + C_6^6 = 6 + 1 = 7$

Таким образом, 7-я строка треугольника Паскаля состоит из чисел: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Ответ: Числа, стоящие в 7-й строке треугольника Паскаля: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

4) Докажем тождество Паскаля $C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m$, используя формулу для числа сочетаний. Преобразуем правую часть равенства:

$C_n^{m-1} + C_n^m = \frac{n!}{(m-1)!(n-(m-1))!} + \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!} + \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m!(n-m+1)!$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $m$, а второй — на $(n-m+1)$:

$= \frac{n! \cdot m}{m \cdot (m-1)!(n-m+1)!} + \frac{n! \cdot (n-m+1)}{m!(n-m+1) \cdot (n-m)!} = \frac{n! \cdot m}{m!(n-m+1)!} + \frac{n! \cdot (n-m+1)}{m!(n-m+1)!}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем и вынесем $n!$ за скобки в числителе:

$= \frac{n!(m + (n-m+1))}{m!(n-m+1)!} = \frac{n!(m + n-m+1)}{m!(n-m+1)!} = \frac{n!(n+1)}{m!(n-m+1)!}$

Так как $n!(n+1) = (n+1)!$, получаем:

$= \frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}$

Полученное выражение является формулой для $C_{n+1}^m = \frac{(n+1)!}{m!((n+1)-m)!}$. Тождество доказано.

Ответ: Формула доказана путем алгебраических преобразований правой части равенства с использованием определения числа сочетаний.

5) Докажем формулу $C_n^m = C_n^{n-m}$, которую называют свойством симметричности.

Распишем правую часть по определению числа сочетаний:

$C_n^{n-m} = \frac{n!}{(n-m)!(n-(n-m))!} = \frac{n!}{(n-m)!(n-n+m)!} = \frac{n!}{(n-m)!m!}$

Так как в знаменателе порядок множителей не важен ($ab=ba$), мы можем записать его как $m!(n-m)!$.

Тогда $\frac{n!}{(n-m)!m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$, что в точности совпадает с формулой для $C_n^m$. Формула доказана.

Это свойство означает, что каждая строка треугольника Паскаля симметрична относительно своей середины. Число $C_n^m$ является $(m+1)$-м элементом строки $n$ при счете слева направо (начиная с 0-го индекса). Число $C_n^{n-m}$ является $(n-m+1)$-м элементом слева, что соответствует $(m+1)$-му элементу при счете справа налево. Таким образом, числа, равноудаленные от концов строки, равны.

Ответ: Формула $C_n^m = C_n^{n-m}$ доказывается прямым применением определения числа сочетаний. В треугольнике Паскаля числа $C_n^m$ и $C_n^{n-m}$ расположены в одной и той же $n$-й строке симметрично относительно ее центра.