Номер 4, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Вероятность и комбинаторика. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 4, страница 187.

4 Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета, если выбор осуществляется без возвращения? если выбор осуществляется с возвращением?

В колоде из 36 карт есть две масти красного цвета (червы и бубны) и две масти черного цвета (пики и трефы). Каждая масть содержит 9 карт. Следовательно, в колоде 18 красных и 18 черных карт.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что обе вытянутые карты будут одного цвета. Это означает, что обе карты либо красные, либо черные. Так как эти два исхода (обе красные / обе черные) являются несовместными событиями, общая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

...если выбор осуществляется без возвращения?

Рассмотрим вероятность вытягивания двух карт одного цвета последовательно.

1. Вероятность того, что обе карты красные.Вероятность вытянуть первую красную карту составляет $P_1(К) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.После того как первая красная карта была извлечена, в колоде остается 35 карт, из которых 17 красных.Вероятность вытянуть вторую красную карту: $P_2(К) = \frac{17}{35}$.Вероятность того, что обе карты красные: $P(КК) = P_1(К) \cdot P_2(К) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

2. Вероятность того, что обе карты черные.Расчет аналогичен:Вероятность вытянуть первую черную карту: $P_1(Ч) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.После этого в колоде останется 35 карт, из которых 17 черных.Вероятность вытянуть вторую черную карту: $P_2(Ч) = \frac{17}{35}$.Вероятность того, что обе карты черные: $P(ЧЧ) = P_1(Ч) \cdot P_2(Ч) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

3. Общая вероятность.Складываем вероятности этих двух несовместных событий:$P(\text{одного цвета}) = P(КК) + P(ЧЧ) = \frac{17}{70} + \frac{17}{70} = \frac{34}{70} = \frac{17}{35}$.

Ответ: $\frac{17}{35}$.

...если выбор осуществляется с возвращением?

При выборе с возвращением вытянутая карта возвращается в колоду перед следующим выбором. Таким образом, каждый выбор является независимым событием, и состав колоды не меняется.

1. Вероятность того, что обе карты красные.Вероятность вытянуть красную карту при первом извлечении: $P(К) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.Так как карта возвращается, вероятность вытянуть красную карту при втором извлечении также равна $P(К) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.Вероятность того, что обе карты красные: $P(КК) = P(К) \cdot P(К) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

2. Вероятность того, что обе карты черные.Аналогично, вероятность вытянуть черную карту в любом из случаев равна $P(Ч) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.Вероятность того, что обе карты черные: $P(ЧЧ) = P(Ч) \cdot P(Ч) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

3. Общая вероятность.Складываем вероятности:$P(\text{одного цвета}) = P(КК) + P(ЧЧ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.