Номер 6, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Вероятность и комбинаторика. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 6, страница 187.

6 Номер автомашины состоит из трёх цифр (не все из которых — нули). Какова вероятность того, что номер первой встретившейся вам автомашины будет содержать хотя бы одну цифру 3?

Для решения этой задачи по теории вероятностей воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число возможных исходов ($n$).Номер автомашины состоит из трёх цифр. Каждая цифра может быть любой от 0 до 9. Таким образом, общее количество трёхзначных комбинаций от 000 до 999 равно $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.В условии сказано, что "не все из которых — нули". Это означает, что номер "000" не является допустимым. Следовательно, общее число возможных номеров автомашин равно:$n = 1000 - 1 = 999$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов ($m$).Благоприятствующим событием является то, что номер содержит хотя бы одну цифру 3. Проще найти число исходов для противоположного события — "номер не содержит ни одной цифры 3", а затем вычесть это число из общего количества исходов.Пусть событие $A$ — "номер содержит хотя бы одну цифру 3".Тогда противоположное событие $\overline{A}$ — "номер не содержит цифру 3".

Найдем количество номеров, которые не содержат цифру 3. Для каждой из трёх позиций в номере мы можем использовать любую из 9 цифр: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.Число таких комбинаций равно $9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$.Этот подсчёт включает комбинацию "000", которая не является допустимым номером. Поскольку "000" не содержит цифру 3, мы должны исключить его из нашего подсчета неблагоприятных исходов.Итак, число допустимых номеров, не содержащих цифру 3, равно $729 - 1 = 728$.

Теперь мы можем найти число благоприятствующих исходов ($m$) для события $A$. Это общее число допустимых номеров минус число номеров, не содержащих цифру 3:$m = n - (\text{число номеров без цифры 3}) = 999 - 728 = 271$.

3. Вычислим вероятность.Вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины будет содержать хотя бы одну цифру 3, равна:$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{271}{999}$.Число 271 является простым, а $999 = 9 \times 111 = 3^3 \times 37$. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{271}{999}$