Страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

461 a) При проверке выбранных случайным образом 200 лампочек из партии в 2500 штук 2 лампочки оказались неисправными. Сколько неисправных лампочек можно ожидать в этой партии?

б) При проверке выбранных случайным образом 100 пачек печенья из партии в 1500 пачек вес трёх пачек оказался ниже заявленного. Сколько таких пачек можно ожидать в этой партии?

а)

Для решения этой задачи мы предполагаем, что доля неисправных лампочек в случайной выборке является репрезентативной для всей партии. Сначала найдем долю неисправных лампочек в проверенной выборке.

Размер выборки: 200 лампочек.
Количество неисправных лампочек в выборке: 2.
Доля неисправных лампочек в выборке составляет: $\frac{2}{200} = \frac{1}{100}$ или 1%.

Теперь применим эту долю ко всей партии, чтобы найти ожидаемое количество неисправных лампочек.
Общее количество лампочек в партии: 2500 штук.
Пусть $x$ — ожидаемое количество неисправных лампочек во всей партии. Составим пропорцию:

$\frac{\text{неисправные в выборке}}{\text{всего в выборке}} = \frac{\text{ожидаемые неисправные в партии}}{\text{всего в партии}}$
$\frac{2}{200} = \frac{x}{2500}$

Выразим $x$:
$x = \frac{2 \times 2500}{200} = \frac{5000}{200} = 25$

Таким образом, в партии из 2500 лампочек можно ожидать 25 неисправных.
Ответ: 25 неисправных лампочек.

б)

Аналогично пункту а), предположим, что доля пачек печенья с весом ниже заявленного в выборке такая же, как и во всей партии.

Размер выборки: 100 пачек.
Количество пачек с весом ниже заявленного: 3.
Доля таких пачек в выборке составляет: $\frac{3}{100}$ или 3%.

Найдем ожидаемое количество таких пачек во всей партии.
Общее количество пачек в партии: 1500.
Пусть $y$ — ожидаемое количество пачек с весом ниже заявленного во всей партии. Составим пропорцию:

$\frac{\text{некондиционные в выборке}}{\text{всего в выборке}} = \frac{\text{ожидаемые некондиционные в партии}}{\text{всего в партии}}$
$\frac{3}{100} = \frac{y}{1500}$

Выразим $y$:
$y = \frac{3 \times 1500}{100} = \frac{4500}{100} = 45$

Следовательно, в партии из 1500 пачек можно ожидать, что вес 45 пачек будет ниже заявленного.
Ответ: 45 пачек.

462 При изучении состояния знаний девятиклассников была обследована представительная выборка в 3000 учащихся. За контрольную работу оценку «5» получили 660 учащихся. Какова вероятность того, что наудачу выбранный девятиклассник выполнит эту контрольную работу на «5»?

Вероятность: $P = \frac{660}{3000}$

Для нахождения вероятности события используется классическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Пусть событие $A$ заключается в том, что наудачу выбранный девятиклассник выполнил контрольную работу на оценку «5».

Общее число всех возможных исходов $n$ равно общему количеству учащихся в выборке. По условию задачи, $n = 3000$.

Число благоприятных исходов $m$ равно количеству учащихся, которые получили за контрольную работу оценку «5». По условию, $m = 660$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A) = \frac{660}{3000}$

Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на 10, а затем на 6:

$P(A) = \frac{66}{300} = \frac{11}{50}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{11}{50} = \frac{11 \times 2}{50 \times 2} = \frac{22}{100} = 0.22$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик получил «5», составляет 0,22.

Ответ: 0,22

463 Частота попадания в мишень в тире в среднем составляет 0,6. За день около 100 пуль улетели «в молоко». Сколько всего выстрелов было сделано?

Пусть $N$ — это общее количество выстрелов, сделанных в тире за день.

Частота попадания в мишень по определению — это отношение числа успешных выстрелов (попаданий) к общему числу выстрелов. По условию задачи, эта частота составляет 0,6.

События "попадание в мишень" и "промах" (пуля улетела «в молоко») являются противоположными. Сумма их частот всегда равна 1. Следовательно, мы можем найти частоту промахов:
Частота промахов = $1$ - Частота попаданий
Частота промахов = $1 - 0,6 = 0,4$.

Также известно, что за день было 100 промахов (пуль улетели «в молоко»). Частота промахов также может быть вычислена как отношение числа промахов к общему числу выстрелов:
Частота промахов = $\frac{\text{Число промахов}}{N}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для частоты промахов:
$0,4 = \frac{100}{N}$

Чтобы найти общее количество выстрелов $N$, решим это уравнение:
$N = \frac{100}{0,4}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10:
$N = \frac{100 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{1000}{4}$
$N = 250$

Таким образом, всего за день было сделано 250 выстрелов.

Ответ: 250.

464 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

По статистике проведённых соревнований вероятность поражения мишени биатлонистом Стрельцовым в положении стоя равна 77 %, в положении лёжа — 92 %. Сколько промахов можно ожидать в гонке, в которой биатлонист сделает по 10 выстрелов в каждом положении?

Для решения задачи необходимо найти математическое ожидание (среднее ожидаемое количество) промахов для каждого положения стрельбы, а затем сложить полученные значения.

1. Расчет ожидаемого количества промахов в положении стоя.

Вероятность поражения мишени (попадания) в положении стоя составляет 77%, что в долях равно 0,77. События "попадание" и "промах" являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Найдем вероятность промаха в положении стоя:

$P_{промах\_стоя} = 1 - P_{попадание\_стоя} = 1 - 0.77 = 0.23$

Биатлонист делает 10 выстрелов в положении стоя. Ожидаемое количество промахов в этом положении равно произведению количества выстрелов на вероятность промаха при одном выстреле:

$M_{стоя} = 10 \times 0.23 = 2.3$

2. Расчет ожидаемого количества промахов в положении лёжа.

Вероятность попадания в положении лёжа составляет 92%, или 0,92. Найдем вероятность промаха в положении лёжа:

$P_{промах\_лёжа} = 1 - P_{попадание\_лёжа} = 1 - 0.92 = 0.08$

Биатлонист делает 10 выстрелов в положении лёжа. Ожидаемое количество промахов в этом положении:

$M_{лёжа} = 10 \times 0.08 = 0.8$

3. Расчет общего ожидаемого количества промахов в гонке.

Чтобы найти общее ожидаемое количество промахов, нужно сложить ожидаемое количество промахов для каждого положения:

$M_{общ} = M_{стоя} + M_{лёжа} = 2.3 + 0.8 = 3.1$

Математическое ожидание не обязательно является целым числом. Оно представляет собой среднее значение, которое можно было бы ожидать за большое количество аналогичных гонок.

Ответ: Можно ожидать 3,1 промаха.

465 Абонент забыл последнюю цифру в номере телефона и набирает её наугад, не повторяясь. Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать? Что более вероятно — набрать нужный номер с первой попытки или со второй?

Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать?
Всего существует 10 цифр (от 0 до 9), которые могут быть последней цифрой в номере телефона. Абонент набирает цифры наугад и не повторяется. Худший случай — это когда правильная цифра окажется последней в списке перебираемых вариантов. То есть, абонент сначала наберёт все 9 неправильных цифр, и только на десятый раз наберёт правильную. Таким образом, в худшем случае ему придётся сделать 10 попыток.
Ответ: 10 попыток.

Что более вероятно — набрать нужный номер с первой попытки или со второй?
Давайте рассчитаем вероятности для каждого случая.
1. Вероятность набрать нужный номер с первой попытки. Всего есть 10 возможных цифр, и только одна из них правильная. Вероятность угадать с первого раза ($P_1$) равна: $P_1 = \frac{1}{10}$
2. Вероятность набрать нужный номер со второй попытки. Это событие состоит из двух последовательных шагов:

• Первая попытка должна быть неудачной. Вероятность этого — $ \frac{9}{10} $, так как 9 из 10 цифр неправильные.
• Вторая попытка должна быть удачной. После первой неудачной попытки осталось 9 цифр для перебора (так как абонент не повторяется), и среди них одна правильная. Вероятность угадать на этом шаге равна $ \frac{1}{9} $.

Вероятность того, что оба эти события произойдут последовательно ($P_2$), равна произведению их вероятностей: $P_2 = \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$
Сравнивая вероятности, мы видим, что $P_1 = P_2 = \frac{1}{10}$. Это означает, что вероятности набрать нужный номер с первой и со второй попытки одинаковы.
Ответ: Вероятности одинаковы.

466 В коробке 100 шаров белого и чёрного цвета. Из неё 60 раз вынимали шар, возвращая его обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько предположительно белых шаров в коробке?

Для решения этой задачи мы воспользуемся понятием относительной частоты события. Относительная частота является экспериментальной оценкой вероятности этого события.

По условию, из коробки 60 раз вынимали шар. Это общее число испытаний.
$n = 60$

Белый шар при этом появился в 18 случаях. Это число благоприятных исходов.
$k = 18$

Относительная частота появления белого шара вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу испытаний:
$P(\text{белый}) \approx \frac{k}{n} = \frac{18}{60}$

Упростим эту дробь:
$\frac{18}{60} = \frac{18 \div 6}{60 \div 6} = \frac{3}{10} = 0.3$

Эта частота (0.3) является нашей оценкой вероятности вытащить белый шар. Поскольку шар каждый раз возвращали в коробку, мы можем предположить, что эта экспериментальная вероятность близка к теоретической вероятности, которая определяется долей белых шаров в общем количестве шаров.

Пусть $N_б$ — искомое количество белых шаров, а $N_{общ}$ — общее количество шаров в коробке, равное 100.
Теоретическая вероятность вытащить белый шар равна:
$P(\text{белый}) = \frac{N_б}{N_{общ}} = \frac{N_б}{100}$

Приравняем теоретическую вероятность к найденной относительной частоте:
$\frac{N_б}{100} \approx 0.3$

Теперь найдем предполагаемое количество белых шаров $N_б$:
$N_б \approx 0.3 \times 100 = 30$

Таким образом, в коробке предположительно находится 30 белых шаров.
Ответ: 30.

467 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС В Москве около 12 млн жителей. У скольких жителей Москвы день рождения может приходиться на 1 января?

Чтобы найти ответ на этот вопрос, мы будем исходить из предположения, что дни рождения распределены равномерно в течение года. Это означает, что на каждый день года приходится примерно одинаковое число новорожденных.

Дано:

• Общее число жителей Москвы: около $12 \text{ млн}$, что равно $12\,000\,000$.
• Число дней в году: для расчета возьмем 365 (стандартный год). Использование 366 дней для високосного года не сильно изменит результат, учитывая приблизительность исходных данных.

Для того чтобы оценить, у скольких жителей день рождения приходится на 1 января, необходимо общее число жителей разделить на количество дней в году:

$ \text{Количество жителей с днем рождения 1 января} = \frac{\text{Общее число жителей}}{\text{Число дней в году}} $

Подставим значения в формулу:

$ \frac{12\,000\,000}{365} \approx 32876.71 $

Поскольку количество людей — это целое число, мы округляем полученный результат. Таким образом, можно предположить, что примерно у 32 877 жителей Москвы день рождения 1 января.

Ответ: День рождения 1 января может приходиться примерно на 32 877 жителей Москвы.

468 Из озера выловили 64 рыбы, всех их пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный вылов; на этот раз поймали 50 рыб, среди которых оказалась одна помеченная. Какова вероятная численность рыб в озере? Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной?

Какова вероятная численность рыб в озере?

Для решения этой задачи используется метод мечения и повторного отлова (метод Петерсена), который позволяет оценить размер популяции. Основное предположение метода заключается в том, что доля помеченных рыб в повторном улове пропорциональна доле помеченных рыб во всей популяции.

Пусть $N$ — это общая (неизвестная) численность рыб в озере.

Изначально было выловлено и помечено $M = 64$ рыбы.

Во втором улове было поймано $C = 50$ рыб.

Среди них оказалась $R = 1$ помеченная рыба.

Доля помеченных рыб во всей популяции равна $\frac{M}{N} = \frac{64}{N}$.

Доля помеченных рыб во втором улове равна $\frac{R}{C} = \frac{1}{50}$.

Приравниваем эти доли, чтобы найти $N$:

$\frac{64}{N} = \frac{1}{50}$

Отсюда, используя свойство пропорции, получаем:

$N \cdot 1 = 64 \cdot 50$

$N = 3200$

Таким образом, вероятная численность рыб в озере составляет 3200.

Ответ: Вероятная численность рыб в озере составляет 3200.

Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной?

Если бы в повторном улове из $C = 50$ рыб не оказалось ни одной помеченной, то $R$ было бы равно 0.

В этом случае наша пропорция выглядела бы так:

$\frac{64}{N} = \frac{0}{50}$

$\frac{64}{N} = 0$

Это уравнение не имеет математического решения, так как дробь с ненулевым числителем (64) не может быть равна нулю.

С точки зрения биологии и статистики, такой результат (отсутствие помеченных рыб в повторной выборке) говорит о том, что 64 помеченные рыбы были сильно "разбавлены" в общей популяции. Это означает, что общая численность рыб $N$ настолько велика по сравнению с количеством помеченных рыб $M=64$, что вероятность поймать хотя бы одну из них в улове из 50 штук оказалась очень низкой.

Следовательно, можно было бы сделать вывод, что популяция рыб в озере очень велика, и данный метод в этом конкретном случае не позволяет дать точную численную оценку, а лишь указывает на то, что численность значительно превышает ту, что была рассчитана в первом пункте.

Ответ: Можно было бы сказать, что количество рыб в озере очень велико, и данный метод не позволяет дать точную оценку численности популяции.