Номер 449, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 449, страница 177.

449 На рисунке 5.9 представлены две мишени — результаты стрельбы курсантов Макарова и Токарева. Сравните, не вычисляя, среднее арифметическое и сред-неквадратичное отклонение двух рядов — результатов стрельбы. Проверьте себя, выполнив вычисления.

Курсант Макаров

Курсант Токарев

Рис. 5.9

Сравнение, не выполняя вычислений

Анализируя расположение попаданий на мишенях, можно сделать следующие предположения:

1. Среднее арифметическое. У курсанта Токарева большинство попаданий (7 из 8) сгруппированы в центре мишени, в зонах с высоким номиналом (от 7 до 10). У курсанта Макарова попадания распределены по большей площади мишени, включая зоны с низкими баллами (2, 3, 4, 5). Это позволяет предположить, что средний результат у Токарева будет выше.

2. Среднеквадратичное отклонение. Эта величина показывает, насколько сильно значения разбросаны относительно среднего. У Токарева стрельба очень "кучная", то есть попадания расположены близко друг к другу, за исключением одного выстрела-отрыва. У Макарова, наоборот, все выстрелы имеют большой разброс. Несмотря на то, что у Токарева есть одно сильно отклоняющееся значение, общий разброс результатов у Макарова визуально кажется большим. Следовательно, можно предположить, что среднеквадратичное отклонение (показатель нестабильности) у Макарова будет больше.

Ответ: Предположительно, среднее арифметическое результатов Токарева выше, чем у Макарова, а среднеквадратичное отклонение результатов Макарова больше, чем у Токарева.

Проверка, выполнив вычисления

Для проверки составим ряды данных для каждого стрелка, где каждое число — это количество очков за один выстрел.

Результаты курсанта Макарова: $X_M = \{2, 3, 4, 5, 7, 8, 8, 9\}$.

Результаты курсанта Токарева: $X_T = \{2, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10\}$.

Количество выстрелов у каждого курсанта $n=8$.

1. Вычисление среднего арифметического ($\bar{x}$)

Среднее арифметическое вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$.

Для Макарова: $\bar{x}_M = \frac{2+3+4+5+7+8+8+9}{8} = \frac{46}{8} = 5.75$.

Для Токарева: $\bar{x}_T = \frac{2+7+7+8+8+9+9+10}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$.

Сравнение показывает, что $7.5 > 5.75$, то есть $\bar{x}_T > \bar{x}_M$. Токарев в среднем стреляет лучше. Первоначальное предположение подтвердилось.

2. Вычисление среднеквадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$.

Для Макарова ($\bar{x}_M = 5.75$):
Сумма квадратов отклонений: $\sum(x_i - \bar{x}_M)^2 = (2-5.75)^2 + (3-5.75)^2 + (4-5.75)^2 + (5-5.75)^2 + (7-5.75)^2 + (8-5.75)^2 + (8-5.75)^2 + (9-5.75)^2 = 14.0625 + 7.5625 + 3.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 5.0625 + 5.0625 + 10.5625 = 47.5$.
Среднеквадратичное отклонение: $\sigma_M = \sqrt{\frac{47.5}{8}} = \sqrt{5.9375} \approx 2.437$.

Для Токарева ($\bar{x}_T = 7.5$):
Сумма квадратов отклонений: $\sum(x_i - \bar{x}_T)^2 = (2-7.5)^2 + (7-7.5)^2 + (7-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + (9-7.5)^2 + (9-7.5)^2 + (10-7.5)^2 = 30.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 2.25 + 6.25 = 42$.
Среднеквадратичное отклонение: $\sigma_T = \sqrt{\frac{42}{8}} = \sqrt{5.25} \approx 2.291$.

Сравнение показывает, что $2.437 > 2.291$, то есть $\sigma_M > \sigma_T$. Это означает, что разброс результатов у Макарова больше, а стрельба Токарева стабильнее. Второе предположение также подтвердилось.

Ответ: Среднее арифметическое очков у курсанта Токарева ($7.5$) выше, чем у курсанта Макарова ($5.75$). Среднеквадратичное отклонение у Макарова ($\approx 2.437$) больше, чем у Токарева ($\approx 2.291$), что говорит о более высокой стабильности стрельбы Токарева.