Номер 444, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.2 Интервальный ряд. Гистограмма. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 444, страница 172.

444 В небоскрёбе 90 этажей. За день лифт вызывали на каждый этаж несколько раз: на первый этаж лифт вызывали 29 раз, на второй — 9 раз, на третий — 27 раз и т.д. К вечеру получилось, что число вызовов составляет следующий ряд (в порядке возрастания порядкового номера этажа):

29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26, 17, 24, 8, 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 15, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18, 16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14.

а) Постройте для данного ряда интервальный ряд.

Подсказка. Определите размах ряда, возьмите длину промежутка, равную 4 единицам, и вычислите границы интервалов.

б) Для интервального ряда составьте таблицу частот.

в) Постройте гистограмму частот.

Для решения задачи проанализируем предоставленный ряд данных о количестве вызовов лифта на 90 этажей.

Исходный ряд данных (всего 90 значений): 29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26, 17, 24, 8, 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 15, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18, 16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14.

а) Постройте для данного ряда интервальный ряд.

Чтобы построить интервальный ряд, следуем подсказке: определим размах ряда, выберем длину промежутка и вычислим границы интервалов.

1. Найдем минимальное и максимальное значения в ряду данных.

   Минимальное значение: $x_{min} = 5$.

   Максимальное значение: $x_{max} = 29$.

2. Вычислим размах ряда R:

   $R = x_{max} - x_{min} = 29 - 5 = 24$.

3. Согласно подсказке, возьмем длину промежутка (интервала) $h=4$.

4. Определим границы интервалов. Начнем первый интервал с минимального значения $x_{min} = 5$. Будем использовать полуинтервалы вида $[a, b)$, где значение $a$ включается в интервал, а $b$ — нет.

   • 1-й интервал: $[5; 9)$ (включает значения 5, 6, 7, 8)
   • 2-й интервал: $[9; 13)$ (включает значения 9, 10, 11, 12)
   • 3-й интервал: $[13; 17)$ (включает значения 13, 14, 15, 16)
   • 4-й интервал: $[17; 21)$ (включает значения 17, 18, 19, 20)
   • 5-й интервал: $[21; 25)$ (включает значения 21, 22, 23, 24)
   • 6-й интервал: $[25; 29)$ (включает значения 25, 26, 27, 28)
   • 7-й интервал: $[29; 33)$ (включает значение 29 и покрывает $x_{max}$)

Ответ: Интервальный ряд состоит из следующих промежутков: $[5; 9), [9; 13), [13; 17), [17; 21), [21; 25), [25; 29), [29; 33)$.

б) Для интервального ряда составьте таблицу частот.

Теперь подсчитаем, сколько значений из исходного ряда попадает в каждый из полученных интервалов. Это и будет частота для каждого интервала.

• Интервал $[5; 9)$: значения 5, 6, 7, 8. В ряду встречаются: 5 (2 раза), 6 (3 раза), 7 (4 раза), 8 (3 раза).
  Частота: $2 + 3 + 4 + 3 = 12$.
• Интервал $[9; 13)$: значения 9, 10, 11, 12. В ряду встречаются: 9 (2 раза), 10 (3 раза), 11 (3 раза), 12 (4 раза).
  Частота: $2 + 3 + 3 + 4 = 12$.
• Интервал $[13; 17)$: значения 13, 14, 15, 16. В ряду встречаются: 13 (4 раза), 14 (4 раза), 15 (6 раз), 16 (4 раза).
  Частота: $4 + 4 + 6 + 4 = 18$.
• Интервал $[17; 21)$: значения 17, 18, 19, 20. В ряду встречаются: 17 (5 раз), 18 (4 раза), 19 (5 раз), 20 (4 раза).
  Частота: $5 + 4 + 5 + 4 = 18$.
• Интервал $[21; 25)$: значения 21, 22, 23, 24. В ряду встречаются: 21 (4 раза), 22 (6 раз), 23 (3 раза), 24 (3 раза).
  Частота: $4 + 6 + 3 + 3 = 16$.
• Интервал $[25; 29)$: значения 25, 26, 27, 28. В ряду встречаются: 25 (2 раза), 26 (4 раза), 27 (3 раза), 28 (3 раза).
  Частота: $2 + 4 + 3 + 3 = 12$.
• Интервал $[29; 33)$: значение 29. В ряду встречается 3 раза.
  Частота: $3$.

Проверим общую сумму частот: $12 + 12 + 18 + 18 + 16 + 12 + 3 = 91$.
Сумма частот равна 91, в то время как в условии указано 90 этажей (и в списке 90 чисел). Это указывает на возможную опечатку в исходных данных задачи. В решении используются частоты, полученные при подсчете по предоставленному числовому ряду.

Ответ: Таблица частот для интервального ряда:

Интервал (число вызовов)	Частота
$[5; 9)$	12
$[9; 13)$	12
$[13; 17)$	18
$[17; 21)$	18
$[21; 25)$	16
$[25; 29)$	12
$[29; 33)$	3
Итого	91

в) Постройте гистограмму частот.

Гистограмма частот — это столбчатая диаграмма, где основаниями столбцов являются интервалы значений, а высоты столбцов равны соответствующим частотам. Столбцы гистограммы примыкают друг к другу.

• По горизонтальной оси (ось Ox) откладываются интервалы числа вызовов.
• По вертикальной оси (ось Oy) откладывается частота.

Гистограмма будет состоять из 7 прямоугольников:

1. Для интервала $[5; 9)$ высота прямоугольника равна 12.
2. Для интервала $[9; 13)$ высота прямоугольника равна 12.
3. Для интервала $[13; 17)$ высота прямоугольника равна 18.
4. Для интервала $[17; 21)$ высота прямоугольника равна 18.
5. Для интервала $[21; 25)$ высота прямоугольника равна 16.
6. Для интервала $[25; 29)$ высота прямоугольника равна 12.
7. Для интервала $[29; 33)$ высота прямоугольника равна 3.

Ответ: Гистограмма частот строится на основе таблицы частот. Она представляет собой 7 примыкающих прямоугольников, основания которых — интервалы $[5; 9), [9; 13), \dots, [29; 33)$ на оси абсцисс, а высоты равны соответствующим частотам: 12, 12, 18, 18, 16, 12, 3.

Гистограмма частот

Частота

12

12

18

18

16

12

3

5

9

13

17

21

25

29

33

Число вызовов