Номер 448, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 448, страница 177.

448 Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их:

а) 3, 7, 10, 11, 19 и 10, 11, 15, 17, 22;

б) 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10.

а)

Сначала вычислим требуемые величины для первого набора чисел: 3, 7, 10, 11, 19.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_1 $) — это сумма всех чисел, деленная на их количество (n=5):
$ \bar{x}_1 = \frac{3 + 7 + 10 + 11 + 19}{5} = \frac{50}{5} = 10 $

2. Дисперсия ($ \sigma_1^2 $) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического:
$ \sigma_1^2 = \frac{(3-10)^2 + (7-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (19-10)^2}{5} $
$ \sigma_1^2 = \frac{(-7)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 1^2 + 9^2}{5} = \frac{49+9+0+1+81}{5} = \frac{140}{5} = 28 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_1 $) — это квадратный корень из дисперсии:
$ \sigma_1 = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 $

Теперь вычислим те же величины для второго набора чисел: 10, 11, 15, 17, 22.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_2 $):
$ \bar{x}_2 = \frac{10 + 11 + 15 + 17 + 22}{5} = \frac{75}{5} = 15 $

2. Дисперсия ($ \sigma_2^2 $):
$ \sigma_2^2 = \frac{(10-15)^2 + (11-15)^2 + (15-15)^2 + (17-15)^2 + (22-15)^2}{5} $
$ \sigma_2^2 = \frac{(-5)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 7^2}{5} = \frac{25+16+0+4+49}{5} = \frac{94}{5} = 18.8 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_2 $):
$ \sigma_2 = \sqrt{18.8} \approx 4.34 $

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора больше, чем первого ($15 > 10$).
Дисперсия и стандартное отклонение первого набора больше, чем второго ($28 > 18.8$ и $ \sqrt{28} > \sqrt{18.8} $). Это означает, что данные в первом наборе более разбросаны относительно своего среднего значения, чем во втором.

Ответ: для первого набора: среднее арифметическое 10, дисперсия 28, стандартное отклонение $ \sqrt{28} $; для второго набора: среднее арифметическое 15, дисперсия 18.8, стандартное отклонение $ \sqrt{18.8} $.

б)

Вычислим требуемые величины для первого набора чисел: 1, 3, 5, 7, 9.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_1 $):
$ \bar{x}_1 = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5 $

2. Дисперсия ($ \sigma_1^2 $):
$ \sigma_1^2 = \frac{(1-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{5} $
$ \sigma_1^2 = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_1 $):
$ \sigma_1 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 $

Теперь вычислим те же величины для второго набора чисел: 2, 4, 6, 8, 10.

1. Среднее арифметическое ($ \bar{x}_2 $):
$ \bar{x}_2 = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 $

2. Дисперсия ($ \sigma_2^2 $):
$ \sigma_2^2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5} $
$ \sigma_2^2 = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8 $

3. Стандартное отклонение ($ \sigma_2 $):
$ \sigma_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 $

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора больше, чем первого ($6 > 5$).
Дисперсии и стандартные отклонения обоих наборов равны ($8 = 8$ и $ \sqrt{8} = \sqrt{8} $). Это означает, что разброс данных относительно их среднего значения в обоих наборах одинаков. Это объясняется тем, что второй набор чисел получен из первого прибавлением константы (1) к каждому элементу, что сдвигает среднее значение, но не меняет разброс.

Ответ: для первого набора: среднее арифметическое 5, дисперсия 8, стандартное отклонение $ \sqrt{8} $; для второго набора: среднее арифметическое 6, дисперсия 8, стандартное отклонение $ \sqrt{8} $.