Номер 455, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 455, страница 178.

455 Для службы в Президентском полку отбирают призывников с ростом не менее 175 см и не более 190 см. Есть две группы призывников, рост которых:

первая группа — 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см;

вторая группа — 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.

Сколько призывников из каждой группы подходят для службы в Президентском полку? Сравните эти группы, вычислите для каждой стандартное отклонение.

Сколько призывников из каждой группы подходят для службы в Президентском полку?

Для службы в Президентском полку устанавливаются требования к росту призывников: не менее 175 см и не более 190 см. Математически это условие можно записать в виде двойного неравенства: $175 \le \text{рост} \le 190$.

Проанализируем каждую группу на соответствие этому требованию.

Первая группа: 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см.
- 165 см < 175 см (не подходит)
- 170 см < 175 см (не подходит)
- 173 см < 175 см (не подходит)
- 182 см соответствует условию $175 \le 182 \le 190$ (подходит)
- 195 см > 190 см (не подходит)
Таким образом, из первой группы подходит только один призывник.

Вторая группа: 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.
- 166 см < 175 см (не подходит)
- 175 см соответствует условию $175 \le 175 \le 190$ (подходит)
- 175 см соответствует условию $175 \le 175 \le 190$ (подходит)
- 176 см соответствует условию $175 \le 176 \le 190$ (подходит)
- 178 см соответствует условию $175 \le 178 \le 190$ (подходит)
Таким образом, из второй группы подходят четыре призывника.

Ответ: из первой группы подходит 1 призывник, из второй группы — 4 призывника.

Сравните эти группы, вычислите для каждой стандартное отклонение.

Стандартное отклонение является мерой разброса значений в наборе данных. Оно вычисляется по формуле: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$, где $n$ — количество элементов в выборке, $x_i$ — каждый элемент выборки, $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение выборки.

Расчет для первой группы:
1. Найдем среднее арифметическое роста ($\bar{x}_1$):
$\bar{x}_1 = \frac{165 + 170 + 173 + 182 + 195}{5} = \frac{885}{5} = 177$ см.
2. Вычислим дисперсию (средний квадрат отклонений от среднего, $\sigma_1^2$):
$\sigma_1^2 = \frac{(165-177)^2 + (170-177)^2 + (173-177)^2 + (182-177)^2 + (195-177)^2}{5} = \frac{144 + 49 + 16 + 25 + 324}{5} = \frac{558}{5} = 111.6$
3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma_1$):
$\sigma_1 = \sqrt{111.6} \approx 10.56$ см.

Расчет для второй группы:
1. Найдем среднее арифметическое роста ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{166 + 175 + 175 + 176 + 178}{5} = \frac{870}{5} = 174$ см.
2. Вычислим дисперсию ($\sigma_2^2$):
$\sigma_2^2 = \frac{(166-174)^2 + (175-174)^2 + (175-174)^2 + (176-174)^2 + (178-174)^2}{5} = \frac{64 + 1 + 1 + 4 + 16}{5} = \frac{86}{5} = 17.2$
3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{17.2} \approx 4.15$ см.

Сравнение групп:
Стандартное отклонение для первой группы ($\sigma_1 \approx 10.56$ см) значительно больше, чем для второй группы ($\sigma_2 \approx 4.15$ см). Это указывает на то, что рост призывников в первой группе имеет большой разброс, в то время как во второй группе рост призывников более однороден и сгруппирован вокруг среднего значения. Хотя средний рост в первой группе (177 см) выше, чем во второй (174 см), вторая группа является более стабильной по этому показателю.

Ответ: стандартное отклонение для первой группы составляет примерно 10.56 см, для второй группы — примерно 4.15 см. Сравнение показывает, что вторая группа более однородна по росту.