Номер 460, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 460, страница 179.

460 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Дан ряд чисел: $x_1$; $x_2$; ...; $x_n$, среднее арифметическое которого равно $a$. Каждое число ряда увеличили в 10 раз. Как изменится его среднее арифметическое? Что произойдёт с размахом? дисперсией? стандартным отклонением?

2) Сформулируйте полученный результат в общем виде: «Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то...».

3) Ответьте на вопрос следующей задачи, используя утверждения из пункта 2: Ребятам было поручено провести статистическое исследование роста одноклассников. Коля записал рост ребят в сантиметрах: 162; 181; 179; ..., а Оля — в метрах: 1,62; 1,81; 1,79; .... Затем они подсчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. Коля получил соответственно 172, 81 и 9. Какие результаты получила Оля?

1) Пусть исходный ряд чисел $x_1, x_2, ..., x_n$ имеет среднее арифметическое $a$, размах $R$, дисперсию $D$ и стандартное отклонение $\sigma$. После увеличения каждого числа в 10 раз, мы получаем новый ряд $10x_1, 10x_2, ..., 10x_n$.
Новое среднее арифметическое $a_{нов}$ вычисляется как $a_{нов} = \frac{10x_1 + ... + 10x_n}{n} = 10 \cdot \frac{x_1 + ... + x_n}{n} = 10a$. Оно увеличится в 10 раз.
Новый размах $R_{нов}$ (разность между максимальным $10x_{max}$ и минимальным $10x_{min}$ значениями) равен $R_{нов} = 10x_{max} - 10x_{min} = 10(x_{max} - x_{min}) = 10R$. Он увеличится в 10 раз.
Новая дисперсия $D_{нов}$ (средний квадрат отклонений от нового среднего $10a$) равна $D_{нов} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (10x_i - 10a)^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} 100(x_i - a)^2}{n} = 100 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - a)^2}{n} = 100D$. Она увеличится в $10^2 = 100$ раз.
Новое стандартное отклонение $\sigma_{нов}$ (корень из новой дисперсии) равно $\sigma_{нов} = \sqrt{D_{нов}} = \sqrt{100D} = 10\sqrt{D} = 10\sigma$. Оно увеличится в 10 раз.

Ответ: Среднее арифметическое, размах и стандартное отклонение увеличатся в 10 раз, а дисперсия увеличится в 100 раз.

2) Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то статистические характеристики ряда изменятся следующим образом:
- Среднее арифметическое умножится на $k$.
- Размах умножится на $|k|$.
- Дисперсия умножится на $k^2$.
- Стандартное отклонение умножится на $|k|$.

Ответ: Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то его среднее арифметическое умножится на $k$, размах и стандартное отклонение умножатся на $|k|$, а дисперсия умножится на $k^2$.

3) Для решения этой задачи воспользуемся утверждениями из пункта 2. Коля измерял рост в сантиметрах, а Оля — в метрах. Так как 1 м = 100 см, то каждое число в ряду данных Оли равно соответствующему числу из ряда Коли, умноженному на коэффициент $k = \frac{1}{100} = 0.01$.
У Коли получились следующие результаты:
- Средний рост (среднее арифметическое): $\bar{x}_{Коля} = 172$ см
- Дисперсия: $D_{Коля} = 81$ см$^2$
- Стандартное отклонение: $\sigma_{Коля} = 9$ см
Теперь найдем результаты Оли, применив правила из пункта 2 с коэффициентом $k = 0.01$:
- Средний рост у Оли: $\bar{x}_{Оля} = k \cdot \bar{x}_{Коля} = 0.01 \cdot 172 = 1.72$ м.
- Дисперсия у Оли: $D_{Оля} = k^2 \cdot D_{Коля} = (0.01)^2 \cdot 81 = 0.0001 \cdot 81 = 0.0081$ м$^2$.
- Стандартное отклонение у Оли: $\sigma_{Оля} = |k| \cdot \sigma_{Коля} = |0.01| \cdot 9 = 0.09$ м.

Ответ: Оля получила следующие результаты: средний рост — 1,72; дисперсия — 0,0081; стандартное отклонение — 0,09.