Номер 459, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 459, страница 179.

459 Докажите следующие утверждения:

а) в любом ряду данных сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна 0;

б) дисперсия любого ряда данных не отрицательна;

в) если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

а) Пусть дан ряд данных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Его среднее арифметическое $\bar{x}$ равно $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$. Сумма отклонений данных от их среднего арифметического представляет собой выражение $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})$. Раскроем скобки в сумме: $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar{x}$. Так как $\bar{x}$ является постоянной величиной для всех членов ряда, сумма $\sum_{i=1}^{n}\bar{x}$ равна $n\bar{x}$. Следовательно, выражение можно переписать как $\sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar{x}$. Из определения среднего арифметического $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ следует, что $\sum_{i=1}^{n}x_i = n\bar{x}$. Подставляя это равенство в наше выражение, получаем $n\bar{x} - n\bar{x} = 0$, что и доказывает утверждение.
Ответ: Сумма отклонений данных от их среднего арифметического в любом ряду данных равна 0.

б) Дисперсия $D$ ряда данных по определению равна среднему арифметическому квадратов отклонений от среднего: $D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Для любого элемента ряда $x_i$, отклонение $(x_i - \bar{x})$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных слагаемых $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ также будет неотрицательной. Количество данных в ряду $n$ является положительным целым числом ($n > 0$). Следовательно, дисперсия, как результат деления неотрицательного числа на положительное, сама является неотрицательной величиной: $D \ge 0$.
Ответ: Дисперсия любого ряда данных не отрицательна.

в) Пусть исходный ряд данных — $x_1, x_2, \dots, x_n$, его среднее арифметическое — $\bar{x}$, а дисперсия — $D_x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Рассмотрим новый ряд данных $y_1, y_2, \dots, y_n$, полученный увеличением каждого элемента исходного ряда на константу $c$, то есть $y_i = x_i + c$. Сначала найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$: $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i + c) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_i + nc) = (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i) + c = \bar{x} + c$. Теперь вычислим дисперсию нового ряда $D_y$: $D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$. Подставим в эту формулу выражения для $y_i$ и $\bar{y}$: $D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i + c) - (\bar{x} + c))^2$. Упростим выражение под знаком квадрата: $(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i - \bar{x}$. Таким образом, формула для дисперсии нового ряда принимает вид $D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$, что в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$. Следовательно, $D_y = D_x$.
Ответ: Если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.