Номер 458, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 458, страница 179.

458 Что можно сказать о ряде чисел, в котором:

а) размах равен 0;

б) дисперсия равна 0?

а) Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Обозначим наибольшее значение как $x_{max}$, а наименьшее — как $x_{min}$. Тогда размах $R$ вычисляется по формуле:
$R = x_{max} - x_{min}$
По условию задачи, размах равен 0:
$x_{max} - x_{min} = 0$
Из этого равенства следует, что $x_{max} = x_{min}$.
Поскольку все числа в ряду находятся в промежутке от наименьшего до наибольшего значения (включительно), то есть для любого числа $x_i$ из ряда выполняется неравенство $x_{min} \le x_i \le x_{max}$, то при условии $x_{max} = x_{min}$ все числа $x_i$ должны быть равны этому общему значению.
Следовательно, если размах ряда чисел равен 0, это означает, что все числа в этом ряду одинаковы.
Ответ: все числа в ряду равны между собой.

б) Дисперсия — это мера разброса данных, которая показывает, насколько значения в ряду отклоняются от их среднего арифметического. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого числа ряда от их среднего значения.
Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Их среднее арифметическое $\bar{x}$ равно:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Дисперсия $D$ вычисляется по формуле:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
По условию, дисперсия равна 0:
$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} = 0$
Это равенство возможно только тогда, когда числитель равен нулю:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 0$
Каждое слагаемое в этой сумме, $(x_i - \bar{x})^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно не может быть отрицательным (то есть $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$). Сумма неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.
Следовательно, для каждого $i$ от 1 до $n$:
$(x_i - \bar{x})^2 = 0$, что означает $x_i - \bar{x} = 0$, или $x_i = \bar{x}$.
Таким образом, если дисперсия ряда равна 0, это означает, что каждое число в ряду равно среднему арифметическому этого ряда. А это возможно только если все числа в ряду одинаковы.
Ответ: все числа в ряду равны между собой.