Номер 456, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

5.3 Характеристики разброса. Глава 5. Статистика, вероятность, комбинаторика - номер 456, страница 179.

456 В лаборатории две группы мышей, их масса (в граммах) по группам указана ниже.

Группа А: 26, 25, 33, 21, 26, 22, 29, 31, 29, 32.

Группа B: 34, 21, 33, 31, 24, 32, 28, 32, 30, 26.

Для ряда данных каждой группы вычислите среднее арифметическое и стандартное отклонение. Выберите группу, для которой верно высказывание:

а) средняя масса мышей в этой группе выше, чем в другой;

б) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к максимальному, выше, чем для другой группы;

в) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к среднему значению, выше, чем для другой группы.

Для решения задачи сначала необходимо вычислить среднее арифметическое и стандартное отклонение для каждой группы мышей.

Расчеты для Группы А

Данные: $X_A = \{26, 25, 33, 21, 26, 22, 29, 31, 29, 32\}$.

Количество мышей в группе: $n_A = 10$.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_A$): сумма всех масс, деленная на количество мышей.

Сумма масс: $26 + 25 + 33 + 21 + 26 + 22 + 29 + 31 + 29 + 32 = 274$ г.

$\bar{x}_A = \frac{274}{10} = 27.4$ г.

2. Стандартное отклонение ($\sigma_A$): корень из дисперсии. Дисперсия — это среднее значение квадратов отклонений от среднего.

Сумма квадратов отклонений: $(26-27.4)^2 + (25-27.4)^2 + (33-27.4)^2 + (21-27.4)^2 + (26-27.4)^2 + (22-27.4)^2 + (29-27.4)^2 + (31-27.4)^2 + (29-27.4)^2 + (32-27.4)^2 = 1.96 + 5.76 + 31.36 + 40.96 + 1.96 + 29.16 + 2.56 + 12.96 + 2.56 + 21.16 = 150.4$.

Дисперсия: $\sigma_A^2 = \frac{150.4}{10} = 15.04$.

Стандартное отклонение: $\sigma_A = \sqrt{15.04} \approx 3.88$ г.

Расчеты для Группы B

Данные: $X_B = \{34, 21, 33, 31, 24, 32, 28, 32, 30, 26\}$.

Количество мышей в группе: $n_B = 10$.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_B$):

Сумма масс: $34 + 21 + 33 + 31 + 24 + 32 + 28 + 32 + 30 + 26 = 291$ г.

$\bar{x}_B = \frac{291}{10} = 29.1$ г.

2. Стандартное отклонение ($\sigma_B$):

Сумма квадратов отклонений: $(34-29.1)^2 + (21-29.1)^2 + (33-29.1)^2 + (31-29.1)^2 + (24-29.1)^2 + (32-29.1)^2 + (28-29.1)^2 + (32-29.1)^2 + (30-29.1)^2 + (26-29.1)^2 = 24.01 + 65.61 + 15.21 + 3.61 + 26.01 + 8.41 + 1.21 + 8.41 + 0.81 + 9.61 = 162.9$.

Дисперсия: $\sigma_B^2 = \frac{162.9}{10} = 16.29$.

Стандартное отклонение: $\sigma_B = \sqrt{16.29} \approx 4.04$ г.

Теперь ответим на вопросы, используя полученные данные:

• Группа А: среднее $\bar{x}_A = 27.4$ г, стандартное отклонение $\sigma_A \approx 3.88$ г.
• Группа B: среднее $\bar{x}_B = 29.1$ г, стандартное отклонение $\sigma_B \approx 4.04$ г.

а) средняя масса мышей в этой группе выше, чем в другой;

Сравниваем средние значения: $\bar{x}_A = 27.4$ г и $\bar{x}_B = 29.1$ г. Поскольку $29.1 > 27.4$, средняя масса выше в группе B.

Ответ: Группа B.

б) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к максимальному, выше, чем для другой группы;

Найдем максимальные значения в каждой группе и посчитаем количество мышей с массой, близкой к максимальной. Будем считать "близкой" массу, которая находится в пределах 2 грамм от максимума (включительно).

В группе A максимальная масса — 33 г. Массы в диапазоне $[33-2, 33]$, то есть $[31, 33]$: это 31, 32, 33. Таких мышей 3. Вероятность $P_A = \frac{3}{10} = 0.3$.

В группе B максимальная масса — 34 г. Массы в диапазоне $[34-2, 34]$, то есть $[32, 34]$: это 32, 32, 33, 34. Таких мышей 4. Вероятность $P_B = \frac{4}{10} = 0.4$.

Поскольку $0.4 > 0.3$, вероятность выбрать мышь с массой, близкой к максимальной, выше для группы B.

Ответ: Группа B.

в) для этой группы вероятность того, что случайным образом выбранная мышь имеет массу, близкую к среднему значению, выше, чем для другой группы.

Стандартное отклонение является мерой разброса данных вокруг среднего значения. Чем меньше стандартное отклонение, тем плотнее данные сгруппированы вокруг среднего, и, следовательно, выше вероятность выбрать значение, близкое к нему.

Сравним стандартные отклонения: $\sigma_A \approx 3.88$ г и $\sigma_B \approx 4.04$ г.

Поскольку $\sigma_A < \sigma_B$ ($3.88 < 4.04$), значения массы в группе А в среднем меньше отклоняются от своего среднего значения. Это означает, что для группы А вероятность выбрать мышь с массой, близкой к средней, выше.

Ответ: Группа А.