Страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

г) Определите средний процент жирности молока.

439 Администрация города опубликовала данные о числе комнат в квартирах горожан. Результаты показаны на диаграмме (рис. 5.3).

Чтобы проверить эти данные, представители независимой организации спросили прохожих на улице: «Сколько комнат в вашей квартире?» Ниже приведены ответы в порядке поступления:

2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 6, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2, 6, 3, 2, 4.

Рис. 5.3

а) Постройте полигоны частот по данным, опубликованным администрацией, и по данным, полученным в ходе опроса.

б) Соответствуют ли данные, полученные по выборке, данным, приведённым администрацией?

а)

Для построения полигонов частот необходимо сначала определить относительные частоты (в процентах) для каждого значения (числа комнат) в обоих наборах данных.

1. Данные, опубликованные администрацией (из диаграммы)

Считаем значения с гистограммы (рис. 5.3):

• 1-комнатные квартиры: 30%
• 2-комнатные квартиры: 35%
• 3-комнатные квартиры: 15%
• 4-комнатные квартиры: 10%
• 5-комнатные квартиры: 5%
• 6-комнатные квартиры: 5%

Для проверки суммируем частоты: $30\% + 35\% + 15\% + 10\% + 5\% + 5\% = 100\%$.

Таким образом, точки для построения первого полигона частот (по данным администрации) имеют координаты, где первая координата — число комнат, а вторая — частота в %: (1; 30), (2; 35), (3; 15), (4; 10), (5; 5), (6; 5).

2. Данные, полученные в ходе опроса (из списка)

Сначала подсчитаем общее количество опрошенных (объем выборки). В списке 5 строк по 20 чисел, итого $5 \times 20 = 100$ респондентов.

Теперь подсчитаем, сколько раз встречается каждое значение (абсолютная частота):

• Число «1» встречается 32 раза.
• Число «2» встречается 31 раз.
• Число «3» встречается 15 раз.
• Число «4» встречается 11 раз.
• Число «5» встречается 6 раз.
• Число «6» встречается 5 раз.

Для проверки суммируем абсолютные частоты: $32 + 31 + 15 + 11 + 6 + 5 = 100$.

Так как объем выборки равен 100, абсолютная частота численно равна относительной частоте в процентах. Точки для построения второго полигона частот (по данным опроса): (1; 32), (2; 31), (3; 15), (4; 11), (5; 6), (6; 5).

Построение полигонов

Для построения каждого полигона на координатной плоскости по оси абсцисс откладывается число комнат, а по оси ординат — соответствующая частота в процентах. Затем полученные точки последовательно соединяются отрезками.

Ответ: Координаты точек для полигона по данным администрации: (1; 30), (2; 35), (3; 15), (4; 10), (5; 5), (6; 5). Координаты точек для полигона по данным опроса: (1; 32), (2; 31), (3; 15), (4; 11), (5; 6), (6; 5).

б)

Чтобы определить, соответствуют ли данные, полученные по выборке, данным, приведённым администрацией, сравним их относительные частоты.

Как видно из таблицы, расхождения в процентных долях невелики. Наибольшая разница составляет 4 процентных пункта для двухкомнатных квартир. Для остальных категорий разница еще меньше. Это говорит о хорошем соответствии данных.

Для дополнительной проверки можно сравнить среднее число комнат в квартире для обоих распределений.

Среднее для официальных данных:
$\bar{x}_{адм} = 1 \cdot 0.30 + 2 \cdot 0.35 + 3 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.10 + 5 \cdot 0.05 + 6 \cdot 0.05 = 0.30 + 0.70 + 0.45 + 0.40 + 0.25 + 0.30 = 2.4$

Среднее для данных опроса:
$\bar{x}_{опрос} = 1 \cdot 0.32 + 2 \cdot 0.31 + 3 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.11 + 5 \cdot 0.06 + 6 \cdot 0.05 = 0.32 + 0.62 + 0.45 + 0.44 + 0.30 + 0.30 = 2.43$

Средние значения практически совпадают. Небольшие различия в частотах можно объяснить случайной погрешностью выборки. Таким образом, можно сделать вывод, что данные, полученные в ходе опроса, соответствуют данным, опубликованным администрацией.

Ответ: Да, соответствуют. Расхождения в данных незначительны и могут быть объяснены погрешностью случайной выборки.

440 Статистика аварий говорит о том, что за 10 лет на самолётах авиакомпании ABC было в три раза больше происшествий, чем на самолётах авиакомпании DEF, но в два раза меньше, чем на самолётах авиакомпании XYZ.

а) Определите относительную частоту происшествий на самолётах авиакомпании DEF среди общего числа аварий самолётов этих авиакомпаний.

б) Какой процент от общего числа происшествий занимают происшествия на самолётах авиакомпании XYZ?

в) Постройте диаграмму частот аварий.

г) Если всего за 10 лет случилось 300 происшествий, то сколько пришлось на каждую авиакомпанию?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество происшествий на самолётах авиакомпании DEF за 10 лет.
Исходя из условия задачи:
- Количество происшествий у авиакомпании ABC было в 3 раза больше, чем у DEF, то есть: $N_{ABC} = 3 \cdot N_{DEF} = 3x$.
- Количество происшествий у ABC было в 2 раза меньше, чем у XYZ, следовательно, у XYZ было в 2 раза больше, чем у ABC: $N_{XYZ} = 2 \cdot N_{ABC} = 2 \cdot (3x) = 6x$.
Общее число происшествий для трёх авиакомпаний составляет: $N_{общ} = N_{DEF} + N_{ABC} + N_{XYZ} = x + 3x + 6x = 10x$.

а) Относительная частота — это отношение числа событий определенного типа к общему числу событий. Для авиакомпании DEF относительная частота происшествий равна отношению числа её происшествий к общему числу происшествий всех трёх компаний.
$f_{DEF} = \frac{N_{DEF}}{N_{общ}} = \frac{x}{10x} = \frac{1}{10} = 0.1$.
Ответ: Относительная частота происшествий для авиакомпании DEF равна 0.1.

б) Сначала найдем относительную частоту происшествий для авиакомпании XYZ.
$f_{XYZ} = \frac{N_{XYZ}}{N_{общ}} = \frac{6x}{10x} = \frac{6}{10} = 0.6$.
Чтобы выразить эту долю в процентах, необходимо умножить полученную относительную частоту на 100%.
Процент происшествий для XYZ = $0.6 \cdot 100\% = 60\%$.
Ответ: Происшествия на самолётах авиакомпании XYZ занимают 60% от общего числа.

в) Диаграмма частот наглядно представляет распределение происшествий между авиакомпаниями. Для её построения можно использовать относительные частоты. Соотношение происшествий между авиакомпаниями DEF, ABC и XYZ составляет $x : 3x : 6x$, или $1:3:6$. Относительные частоты будут:
- DEF: $f_{DEF} = \frac{1}{10} = 0.1$
- ABC: $f_{ABC} = \frac{3}{10} = 0.3$
- XYZ: $f_{XYZ} = \frac{6}{10} = 0.6$
Диаграмма будет состоять из трех столбцов, представляющих каждую авиакомпанию, высота которых пропорциональна их частотам. Ниже приведена визуализация такой диаграммы.
Ответ: Диаграмма частот представляет собой столбцы для авиакомпаний DEF, ABC и XYZ, высоты которых соотносятся как 1:3:6.

г) Нам дано общее число происшествий $N_{общ} = 300$. Ранее мы вывели формулу $N_{общ} = 10x$.
Приравниваем и решаем уравнение:
$10x = 300$
$x = \frac{300}{10} = 30$.
Теперь, зная значение $x$, мы можем рассчитать количество происшествий для каждой авиакомпании:
- Авиакомпания DEF: $N_{DEF} = x = 30$ происшествий.
- Авиакомпания ABC: $N_{ABC} = 3x = 3 \cdot 30 = 90$ происшествий.
- Авиакомпания XYZ: $N_{XYZ} = 6x = 6 \cdot 30 = 180$ происшествий.
Проверка: $30 + 90 + 180 = 300$.
Ответ: На авиакомпанию DEF пришлось 30 происшествий, на ABC — 90 происшествий, и на XYZ — 180 происшествий.