Номер 2, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 2, страница 162.

2 Дана последовательность $2$; $\frac{3}{2}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{6}{5}$; $\dots$ Запишите три следующих числа и составьте формулу $n$-го члена.

Для решения задачи проанализируем данную последовательность чисел: $2; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \ldots$

Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ — это порядковый номер члена в последовательности ($n=1, 2, 3, \ldots$).

Представим первый член последовательности, число 2, в виде дроби со знаменателем 1: $a_1 = 2 = \frac{2}{1}$.

Теперь вся последовательность выглядит так: $a_1 = \frac{2}{1}; a_2 = \frac{3}{2}; a_3 = \frac{4}{3}; a_4 = \frac{5}{4}; a_5 = \frac{6}{5}; \ldots$

Из этого представления видна закономерность: для каждого члена последовательности $a_n$ его числитель на единицу больше знаменателя, а знаменатель равен номеру члена $n$. То есть, числитель равен $n+1$, а знаменатель равен $n$.

Запишите три следующих числа

Последний известный член последовательности — пятый, $a_5 = \frac{6}{5}$. Следующие три члена будут шестым ($a_6$), седьмым ($a_7$) и восьмым ($a_8$). Используя найденную закономерность, находим их:
Шестой член ($n=6$): $a_6 = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$.
Седьмой член ($n=7$): $a_7 = \frac{7+1}{7} = \frac{8}{7}$.
Восьмой член ($n=8$): $a_8 = \frac{8+1}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{6}; \frac{8}{7}; \frac{9}{8}$.

Составьте формулу n-го члена

Основываясь на проведенном анализе, мы можем составить общую формулу для любого члена последовательности $a_n$. Числитель каждого члена равен его номеру $n$ плюс 1 (т.е. $n+1$), а знаменатель равен его номеру $n$.

Таким образом, формула для n-го члена последовательности $a_n$ имеет вид: $a_n = \frac{n+1}{n}$.

Ответ: $a_n = \frac{n+1}{n}$.