Номер 2, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 2, страница 159.

2 Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Объясните, почему так получается.

Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки.

Для проверки рассмотрим первые несколько строк треугольника Паскаля, нумеруя их с нуля, и найдем сумму их элементов:

Строка 0: 1. Сумма $S_0 = 1$.
Строка 1: 1 1. Сумма $S_1 = 1+1=2$.
Строка 2: 1 2 1. Сумма $S_2 = 1+2+1=4$.
Строка 3: 1 3 3 1. Сумма $S_3 = 1+3+3+1=8$.
Строка 4: 1 4 6 4 1. Сумма $S_4 = 1+4+6+4+1=16$.
Строка 5: 1 5 10 10 5 1. Сумма $S_5 = 1+5+10+10+5+1=32$.

Теперь сравним суммы элементов соседних строк:

$S_1 / S_0 = 2 / 1 = 2$
$S_2 / S_1 = 4 / 2 = 2$
$S_3 / S_2 = 8 / 4 = 2$
$S_4 / S_3 = 16 / 8 = 2$
$S_5 / S_4 = 32 / 16 = 2$

Примеры показывают, что суммы образуют последовательность $1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots$, где каждый следующий член в два раза больше предыдущего. Можно заметить, что сумма элементов $n$-ой строки равна $2^n$.

Ответ: Примеры подтверждают утверждение; суммы для строк с 0 по 5 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, и каждая следующая сумма вдвое больше предыдущей.

Объясните, почему так получается.

Это свойство можно объяснить двумя способами.

Способ 1: Исходя из правила построения треугольника.

Каждый элемент в треугольнике Паскаля (кроме крайних единиц) равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. Обозначим сумму элементов строки $n$ как $S_n$. При вычислении суммы элементов следующей, $(n+1)$-ой, строки, каждый элемент из строки $n$ используется дважды. Например, элемент $C_n^k$ из $n$-ой строки вносит вклад в два элемента $(n+1)$-ой строки: $C_{n+1}^k = C_n^{k-1} + C_n^k$ и $C_{n+1}^{k+1} = C_n^k + C_n^{k+1}$. Таким образом, при сложении всех элементов $(n+1)$-ой строки, каждое число из $n$-ой строки будет учтено ровно дважды. Следовательно, общая сумма элементов $(n+1)$-ой строки оказывается вдвое больше суммы элементов $n$-ой строки. То есть, $S_{n+1} = 2 \cdot S_n$.

Способ 2: Используя бином Ньютона.

Элементы $n$-ой строки треугольника Паскаля являются биномиальными коэффициентами $C_n^k$ в разложении степени двучлена $(x+y)^n$:

$(x+y)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}y + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n y^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$.

Сумма элементов $n$-ой строки — это сумма всех этих коэффициентов: $S_n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Чтобы найти эту сумму, достаточно подставить в формулу бинома $x=1$ и $y=1$:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Таким образом, $S_n = 2^n$.

Для следующей, $(n+1)$-ой, строки сумма элементов будет равна $S_{n+1} = 2^{n+1}$.

Соответственно, отношение сумм соседних строк равно $\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$.

Ответ: Сумма элементов $(n+1)$-й строки в два раза больше суммы элементов $n$-й строки, потому что каждый элемент $n$-й строки участвует в формировании двух элементов $(n+1)$-й строки при сложении. Также это следует из формулы бинома Ньютона: сумма элементов $n$-й строки равна $2^n$, а $(n+1)$-й строки — $2^{n+1}$, и их отношение равно 2.