Номер 5, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 5, страница 159.

5. Сравните $C_5^3$ и $C_5^2$; $C_7^1$ и $C_7^6$; $C_{10}^6$ и $C_{10}^4$. Сформулируйте соответствующее свойство и запишите его с помощью символов.

Сравнение $C_5^3$ и $C_5^2$
Для сравнения значений вычислим каждое из них, используя формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$.
Так как $10 = 10$, то $C_5^3 = C_5^2$.
Ответ: $C_5^3 = C_5^2$.

Сравнение $C_7^1$ и $C_7^6$
$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1! \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7}{1 \cdot 6!} = 7$.
$C_7^6 = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6! \cdot 1!} = \frac{6! \cdot 7}{6! \cdot 1} = 7$.
Так как $7 = 7$, то $C_7^1 = C_7^6$.
Ответ: $C_7^1 = C_7^6$.

Сравнение $C_{10}^6$ и $C_{10}^4$
$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{6! \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{24} = 7 \cdot (8/8) \cdot (9/3) \cdot 10 / (24/8/3) = 7 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 10 = 210$.
$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{24} = 210$.
Так как $210 = 210$, то $C_{10}^6 = C_{10}^4$.
Ответ: $C_{10}^6 = C_{10}^4$.

Формулировка соответствующего свойства и его запись с помощью символов
На основе проведенных вычислений мы видим, что во всех случаях сравниваемые величины равны. Заметим, что в каждой паре $C_n^k$ и $C_n^m$ сумма верхних индексов равна нижнему: $3+2=5$, $1+6=7$ и $6+4=10$. Это наблюдение приводит нас к общему свойству чисел сочетаний.

Свойство (свойство симметричности): Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ равно числу сочетаний из $n$ элементов по $n-k$. Смысл этого свойства в том, что выбор $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, эквивалентен выбору $n-k$ элементов, которые не будут включены в итоговую группу.

Запись с помощью символов: Это свойство записывается в виде следующего тождества:
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Данное тождество справедливо для любых целых неотрицательных чисел $n$ и $k$ при условии $0 \le k \le n$.
Ответ: Свойство симметричности: число способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно числу способов выбрать $n-k$ элементов из $n$. В виде формулы: $C_n^k = C_n^{n-k}$.