Номер 7, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 7, страница 159.

7 Докажите, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.

Подсказка. Подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = -1$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона для произвольной натуральной степени $n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Здесь $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты. Члены в разложении бинома нумеруются по порядку, начиная с первого.

• Первый член (коэффициент $C_n^0$) стоит на нечётном, 1-м месте.
• Второй член (коэффициент $C_n^1$) стоит на чётном, 2-м месте.
• Третий член (коэффициент $C_n^2$) — снова на нечётном, 3-м месте, и так далее.

В общем случае, члену с коэффициентом $C_n^k$ соответствует $(k+1)$-е место.

Следовательно, биномиальные коэффициенты на нечётных местах имеют чётные индексы ($k=0, 2, 4, \dots$), а коэффициенты на чётных местах — нечётные индексы ($k=1, 3, 5, \dots$).

Нам необходимо доказать, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах. Математически это записывается как:

$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$

Следуя подсказке, подставим в формулу бинома Ньютона значения $a = 1$ и $b = -1$.

Левая часть формулы примет вид:

$(1 + (-1))^n = 0^n = 0$ (при $n \ge 1$).

Правая часть формулы после подстановки станет:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k = C_n^0(1)^n(-1)^0 + C_n^1(1)^{n-1}(-1)^1 + C_n^2(1)^{n-2}(-1)^2 + \dots + C_n^n(1)^0(-1)^n$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, а $(-1)^k$ равен $1$ для чётных $k$ и $-1$ для нечётных $k$, разложение превращается в знакочередующуюся сумму коэффициентов:

$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots + (-1)^n C_n^n$

Приравняв левую и правую части, получаем равенство:

$0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots$

Теперь перенесём все члены с отрицательными знаками (то есть коэффициенты с нечётными индексами $k$) в левую часть равенства, поменяв их знак:

$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$

В левой части этого равенства стоит сумма биномиальных коэффициентов, находящихся на чётных местах в разложении бинома, а в правой — сумма коэффициентов, находящихся на нечётных местах. Таким образом, их равенство доказано.

Ответ: Равенство $C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$ доказывает, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах (для $n \ge 1$).