Номер 3, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 3, страница 157.

3. Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,(7)$;

б) $0,(12)$;

в) $0,1(3)$.

а) 0,(7)

Это чистая периодическая дробь. Обозначим $x = 0,(7) = 0,777...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части равенства на 10:
$10x = 7,777...$
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

б) 0,(12)

Это чистая периодическая дробь. Обозначим $x = 0,(12) = 0,121212...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на 100:
$100x = 12,121212...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$
Ответ: $\frac{4}{33}$

в) 0,1(3)

Это смешанная периодическая дробь. Обозначим $x = 0,1(3) = 0,1333...$
Умножим обе части равенства на 10, чтобы получить чистую периодическую дробь после запятой:
$10x = 1,333...$
Теперь умножим обе части исходного равенства на 100, чтобы сдвинуть один период влево:
$100x = 13,333...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$100x - 10x = 13,333... - 1,333...$
$90x = 12$
$x = \frac{12}{90}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{12 \div 6}{90 \div 6} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$