Номер 2, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 2, страница 157.

2 Определите, через сколько шагов Ахиллес догонит черепаху, вычислив сумму

$1000 + 100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{10000} + \dots$

Данная задача, связанная с парадоксом Зенона об Ахиллесе и черепахе, сводится к нахождению суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ряд, который нам нужно просуммировать: $1000 + 100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \dots$

Это геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 1000$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Например, второй на первый:

$q = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0.1$

Так как модуль знаменателя $|q| = |0.1| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1000}{1 - 0.1} = \frac{1000}{0.9}$

Для удобства вычислений представим знаменатель в виде обыкновенной дроби:

$S = \frac{1000}{\frac{9}{10}} = 1000 \cdot \frac{10}{9} = \frac{10000}{9}$

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{10000}{9} = 1111\frac{1}{9}$

Таким образом, Ахиллес догонит черепаху, пройдя расстояние, равное сумме этого ряда.

Ответ: $1111\frac{1}{9}$