Номер 428, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.6 Простые и сложные проценты. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 428, страница 155.

Определите, о каких процентах — простых или сложных — идёт речь в задаче, и решите её (427–432):

428 Цена нового автомобиля 450 000 р. При нормальных условиях эксплуатации его продажная стоимость с каждым годом уменьшается на 8 % от первоначальной цены.

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль владелец через 4 года эксплуатации? через $n$ лет эксплуатации?

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 250 тыс. р.?

В задаче речь идет о простых процентах, так как стоимость автомобиля каждый год уменьшается на одну и ту же фиксированную величину, равную 8% от первоначальной цены, а не от текущей. Это соответствует формуле простых процентов для уменьшения величины (или арифметической прогрессии, где разность отрицательна).

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль владелец через 4 года эксплуатации? через n лет эксплуатации?

Первоначальная стоимость автомобиля $S_0 = 450 000$ рублей.
Величина, на которую ежегодно уменьшается стоимость, составляет $8\%$ от первоначальной цены:
$d = 450 000 \cdot \frac{8}{100} = 450 000 \cdot 0.08 = 36 000$ рублей.

Стоимость автомобиля $S_n$ через $n$ лет можно найти по формуле:
$S_n = S_0 - n \cdot d$
Подставив известные значения, получим общую формулу для данной задачи:
$S_n = 450 000 - 36 000 \cdot n$

Чтобы найти стоимость через 4 года, подставим $n = 4$ в эту формулу:
$S_4 = 450 000 - 36 000 \cdot 4 = 450 000 - 144 000 = 306 000$ рублей.

Ответ: через 4 года владелец сможет продать автомобиль за 306 000 рублей; формула стоимости через n лет: $S_n = 450 000 - 36 000n$.

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 250 тыс. р.?

Чтобы найти количество лет $n$, по истечении которых стоимость автомобиля станет меньше 250 000 рублей, необходимо решить неравенство:
$S_n < 250 000$
$450 000 - 36 000 \cdot n < 250 000$
Вычтем 450 000 из обеих частей неравенства:
$-36 000 \cdot n < 250 000 - 450 000$
$-36 000 \cdot n < -200 000$
Разделим обе части на $-36 000$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n > \frac{-200 000}{-36 000}$
$n > \frac{200}{36}$
Сократим дробь:
$n > \frac{50}{9}$
$n > 5\frac{5}{9}$

Поскольку $n$ (количество лет эксплуатации) должно быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее данному неравенству, — это 6.
Таким образом, через 6 лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 250 000 рублей.

Ответ: через 6 лет.