Страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

360 Запишите первые семь членов арифметической прогрессии ($a_n$), если:

а) $a_1 = 10, d = 3;$

б) $a_1 = 30, d = -10;$

в) $a_1 = -35, d = 6.$

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$).

Для нахождения любого члена арифметической прогрессии используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность. Также можно находить каждый следующий член, просто прибавляя разность к предыдущему: $a_{n+1} = a_n + d$.

а)

Даны первый член прогрессии $a_1 = 10$ и разность $d = 3$.

Найдем первые семь членов, последовательно прибавляя разность:

$a_1 = 10$

$a_2 = a_1 + d = 10 + 3 = 13$

$a_3 = a_2 + d = 13 + 3 = 16$

$a_4 = a_3 + d = 16 + 3 = 19$

$a_5 = a_4 + d = 19 + 3 = 22$

$a_6 = a_5 + d = 22 + 3 = 25$

$a_7 = a_6 + d = 25 + 3 = 28$

Ответ: 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28.

б)

Даны первый член прогрессии $a_1 = 30$ и разность $d = -10$.

Найдем первые семь членов:

$a_1 = 30$

$a_2 = a_1 + d = 30 + (-10) = 20$

$a_3 = a_2 + d = 20 + (-10) = 10$

$a_4 = a_3 + d = 10 + (-10) = 0$

$a_5 = a_4 + d = 0 + (-10) = -10$

$a_6 = a_5 + d = -10 + (-10) = -20$

$a_7 = a_6 + d = -20 + (-10) = -30$

Ответ: 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30.

в)

Даны первый член прогрессии $a_1 = -35$ и разность $d = 6$.

Найдем первые семь членов:

$a_1 = -35$

$a_2 = a_1 + d = -35 + 6 = -29$

$a_3 = a_2 + d = -29 + 6 = -23$

$a_4 = a_3 + d = -23 + 6 = -17$

$a_5 = a_4 + d = -17 + 6 = -11$

$a_6 = a_5 + d = -11 + 6 = -5$

$a_7 = a_6 + d = -5 + 6 = 1$

Ответ: -35, -29, -23, -17, -11, -5, 1.

361 Найдите разность и следующие пять членов арифметической прогрессии:

a) $0$; $4$; $8$; $12$; ...;

б) $0$; $-3$; $-6$; $-9$; ...;

в) $-7,5$; $-6$; $-4,5$; $-3$; ...;

а) Для арифметической прогрессии 0; 4; 8; 12; ...

Сначала найдем разность прогрессии ($d$), вычтя из второго члена первый:

$d = 4 - 0 = 4$.

Теперь, зная разность, найдем следующие пять членов. Последний известный член - 12. Будем последовательно прибавлять к нему разность $d=4$:

$12 + 4 = 16$

$16 + 4 = 20$

$20 + 4 = 24$

$24 + 4 = 28$

$28 + 4 = 32$

Ответ: разность $d = 4$, следующие пять членов: 16; 20; 24; 28; 32.

б) Для арифметической прогрессии 0; -3; -6; -9; ...

Найдем разность прогрессии ($d$):

$d = -3 - 0 = -3$.

Найдем следующие пять членов, прибавляя разность $d=-3$ к последнему известному члену, равному -9:

$-9 + (-3) = -12$

$-12 + (-3) = -15$

$-15 + (-3) = -18$

$-18 + (-3) = -21$

$-21 + (-3) = -24$

Ответ: разность $d = -3$, следующие пять членов: -12; -15; -18; -21; -24.

в) Для арифметической прогрессии -7,5; -6; -4,5; -3; ...

Найдем разность прогрессии ($d$):

$d = -6 - (-7,5) = -6 + 7,5 = 1,5$.

Найдем следующие пять членов, прибавляя разность $d=1,5$ к последнему известному члену, равному -3:

$-3 + 1,5 = -1,5$

$-1,5 + 1,5 = 0$

$0 + 1,5 = 1,5$

$1,5 + 1,5 = 3$

$3 + 1,5 = 4,5$

Ответ: разность $d = 1,5$, следующие пять членов: -1,5; 0; 1,5; 3; 4,5.

362 Одна из последовательностей — арифметическая прогрессия. Укажите её:

1) 1; 2; 3; 5; 8; ...

2) 16; 13; 10; 7; ...

3) 32; 16; 8; 4; ...

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо найти разность между соседними членами и проверить, является ли она постоянной для всей последовательности.

1) 1; 2; 3; 5; 8; ...

Найдем разности между последовательными членами этой последовательности:
$a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$
$a_3 - a_2 = 3 - 2 = 1$
$a_4 - a_3 = 5 - 3 = 2$
Поскольку разности не равны друг другу ($1 \neq 2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

2) 16; 13; 10; 7; ...

Найдем разности между последовательными членами этой последовательности:
$a_2 - a_1 = 13 - 16 = -3$
$a_3 - a_2 = 10 - 13 = -3$
$a_4 - a_3 = 7 - 10 = -3$
Разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна $-3$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является арифметической прогрессией.

3) 32; 16; 8; 4; ...

Найдем разности между последовательными членами этой последовательности:
$a_2 - a_1 = 16 - 32 = -16$
$a_3 - a_2 = 8 - 16 = -8$
Поскольку разности не равны друг другу ($-16 \neq -8$), эта последовательность не является арифметической прогрессией. (Данная последовательность является геометрической, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на $1/2$).
Ответ: не является арифметической прогрессией.

По результатам анализа, единственная последовательность, которая является арифметической прогрессией, — это последовательность под номером 2.

363 В арифметической прогрессии $(a_n)$, разность которой равна 12, известен восьмой член: $a_8 = 54$. Восстановите начало прогрессии. Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны? Сколько в ней отрицательных членов?

Восстановите начало прогрессии.
Дано, что арифметическая прогрессия $(a_n)$ имеет разность $d = 12$ и восьмой член $a_8 = 54$.
Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$54 = a_1 + 7 \cdot 12$
$54 = a_1 + 84$
$a_1 = 54 - 84$
$a_1 = -30$
Теперь, зная первый член и разность, можем найти несколько следующих членов, чтобы показать начало прогрессии:
$a_2 = a_1 + d = -30 + 12 = -18$
$a_3 = a_2 + d = -18 + 12 = -6$
$a_4 = a_3 + d = -6 + 12 = 6$
Таким образом, начало прогрессии: -30, -18, -6, 6, ...
Ответ: Первый член прогрессии $a_1 = -30$. Начало прогрессии: -30, -18, -6, 6, ...

Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны?
Чтобы найти, с какого номера члены прогрессии становятся положительными, нужно решить неравенство $a_n > 0$.
Используем формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ с найденными значениями $a_1 = -30$ и $d=12$:
$-30 + (n-1) \cdot 12 > 0$
$12(n-1) > 30$
$n-1 > \frac{30}{12}$
$n-1 > 2.5$
$n > 3.5$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=4$.
Проверим: $a_4 = -30 + (4-1) \cdot 12 = -30 + 36 = 6$, что больше нуля.
Ответ: Члены прогрессии положительны, начиная с 4-го номера.

Сколько в ней отрицательных членов?
Чтобы найти количество отрицательных членов, нужно решить неравенство $a_n < 0$.
$-30 + (n-1) \cdot 12 < 0$
$12(n-1) < 30$
$n-1 < 2.5$
$n < 3.5$
Номера членов $n$ должны быть натуральными числами. Этому условию удовлетворяют $n = 1, 2, 3$.
Таким образом, в прогрессии три отрицательных члена: $a_1 = -30$, $a_2 = -18$, $a_3 = -6$.
Ответ: В прогрессии 3 отрицательных члена.

364 Найдите члены последовательности ($a_n$), обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — арифметическая прогрессия:

а) $a_1$; 12; $a_3$; 18; $a_5$; $a_6$; ...

б) $a$; $a_2$; 70; $a_4$; 62; ...; $a_7$; ...

а)

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны второй и четвертый члены: $a_2 = 12$ и $a_4 = 18$. Для нахождения остальных членов необходимо сначала определить разность прогрессии $d$. Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_k + (n-k)d$.

Подставим известные значения для $a_4$ и $a_2$:

$a_4 = a_2 + (4-2)d$

$18 = 12 + 2d$

$2d = 18 - 12$

$2d = 6$

$d = 3$

Теперь, зная разность прогрессии $d=3$, мы можем найти неизвестные члены:

$a_1 = a_2 - d = 12 - 3 = 9$

$a_3 = a_2 + d = 12 + 3 = 15$

$a_5 = a_4 + d = 18 + 3 = 21$

$a_6 = a_5 + d = 21 + 3 = 24$

Ответ: $a_1 = 9, a_3 = 15, a_5 = 21, a_6 = 24$.

б)

В данной арифметической прогрессии $(a_n)$ известны третий член $a_3 = 70$ и пятый член $a_5 = 62$. Аналогично предыдущему пункту, найдем разность прогрессии $d$.

$a_5 = a_3 + (5-3)d$

$62 = 70 + 2d$

$2d = 62 - 70$

$2d = -8$

$d = -4$

Теперь, зная разность $d=-4$, найдем неизвестные члены прогрессии:

$a_2 = a_3 - d = 70 - (-4) = 74$

$a_1 = a_2 - d = 74 - (-4) = 78$

$a_4 = a_3 + d = 70 + (-4) = 66$

$a_7 = a_5 + (7-5)d = 62 + 2 \cdot (-4) = 62 - 8 = 54$

Ответ: $a_1 = 78, a_2 = 74, a_4 = 66, a_7 = 54$.

365 Последовательность $(c_n)$ — арифметическая прогрессия. Запишите формулу n-го члена и найдите:

а) $c_{15}$, если $c_1 = 3$ и $d = -0.5$;

б) $c_{11}$, если $c_1 = -3$ и $d = 0.7$;

в) $c_{21}$, если $c_1 = 5.8$ и $d = -1.5$;

г) $c_{26}$, если $c_1 = -7$ и $d = 0.4$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии $(c_n)$ имеет вид: $c_n = c_1 + (n-1)d$, где $c_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

а) c₁₅, если c₁ = 3 и d = -0,5;

Сначала запишем формулу n-го члена для данной прогрессии, подставив известные значения $c_1=3$ и $d=-0,5$:

$c_n = 3 + (n-1) \cdot (-0,5) = 3 - 0,5n + 0,5 = 3,5 - 0,5n$.

Теперь найдем $c_{15}$, подставив $n=15$ в полученную формулу:

$c_{15} = 3,5 - 0,5 \cdot 15 = 3,5 - 7,5 = -4$.

Ответ: формула n-го члена: $c_n = 3,5 - 0,5n$; $c_{15} = -4$.

б) c₁₁, если c₁ = -3 и d = 0,7;

Запишем формулу n-го члена для данной прогрессии, подставив $c_1=-3$ и $d=0,7$:

$c_n = -3 + (n-1) \cdot 0,7 = -3 + 0,7n - 0,7 = 0,7n - 3,7$.

Теперь найдем $c_{11}$, подставив $n=11$:

$c_{11} = 0,7 \cdot 11 - 3,7 = 7,7 - 3,7 = 4$.

Ответ: формула n-го члена: $c_n = 0,7n - 3,7$; $c_{11} = 4$.

в) c₂₁, если c₁ = 5,8 и d = -1,5;

Запишем формулу n-го члена для данной прогрессии, подставив $c_1=5,8$ и $d=-1,5$:

$c_n = 5,8 + (n-1) \cdot (-1,5) = 5,8 - 1,5n + 1,5 = 7,3 - 1,5n$.

Теперь найдем $c_{21}$, подставив $n=21$:

$c_{21} = 7,3 - 1,5 \cdot 21 = 7,3 - 31,5 = -24,2$.

Ответ: формула n-го члена: $c_n = 7,3 - 1,5n$; $c_{21} = -24,2$.

г) c₂₆, если c₁ = -7 и d = 0,4.

Запишем формулу n-го члена для данной прогрессии, подставив $c_1=-7$ и $d=0,4$:

$c_n = -7 + (n-1) \cdot 0,4 = -7 + 0,4n - 0,4 = 0,4n - 7,4$.

Теперь найдем $c_{26}$, подставив $n=26$:

$c_{26} = 0,4 \cdot 26 - 7,4 = 10,4 - 7,4 = 3$.

Ответ: формула n-го члена: $c_n = 0,4n - 7,4$; $c_{26} = 3$.

366. Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Чему равна её разность? Запишите формулу $n$-го члена этой прогрессии и найдите:

а) $a_{41}$, если $a_1 = 12$; $a_{n+1} = a_n - 5$;

б) $a_{36}$, если $a_1 = -3$, $a_{n+1} = a_n + 5$.

а) если $a_1 = 12; a_{n+1} = a_n - 5;$

По определению, разность арифметической прогрессии $d$ равна $d = a_{n+1} - a_n$. Из условия $a_{n+1} = a_n - 5$ следует, что $a_{n+1} - a_n = -5$. Следовательно, разность прогрессии $d = -5$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения $a_1 = 12$ и $d = -5$:
$a_n = 12 + (n-1) \cdot (-5)$
$a_n = 12 - 5(n-1)$
$a_n = 12 - 5n + 5$
$a_n = 17 - 5n$

Теперь найдем $a_{41}$, подставив $n = 41$ в формулу $n$-го члена:
$a_{41} = 17 - 5 \cdot 41$
$a_{41} = 17 - 205$
$a_{41} = -188$

Ответ: Разность прогрессии $d = -5$; формула $n$-го члена $a_n = 17 - 5n$; $a_{41} = -188$.

б) если $a_1 = -3, a_{n+1} = a_n + 5.$

Найдем разность арифметической прогрессии $d$. Из условия $a_{n+1} = a_n + 5$ следует, что $a_{n+1} - a_n = 5$. Следовательно, разность прогрессии $d = 5$.

Запишем формулу $n$-го члена, используя общую формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$ и известные значения $a_1 = -3$ и $d = 5$:
$a_n = -3 + (n-1) \cdot 5$
$a_n = -3 + 5n - 5$
$a_n = 5n - 8$

Теперь найдем $a_{36}$, подставив $n = 36$ в полученную формулу:
$a_{36} = 5 \cdot 36 - 8$
$a_{36} = 180 - 8$
$a_{36} = 172$

Ответ: Разность прогрессии $d = 5$; формула $n$-го члена $a_n = 5n - 8$; $a_{36} = 172$.

367 Последовательность $a_n$ — арифметическая прогрессия. Найдите $d$, если:

a) $a_1 = 11, a_{20} = 20.5;$

б) $a_1 = 90, a_{36} = -15.$

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Из этой формулы можно выразить $d$:

$d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$

а)

Дано: $a_1 = 11$ и $a_{20} = 20,5$.

В этом случае $n = 20$. Подставим значения в формулу:

$d = \frac{a_{20} - a_1}{20-1} = \frac{20,5 - 11}{19}$

$d = \frac{9,5}{19}$

$d = 0,5$

Ответ: $d = 0,5$.

б)

Дано: $a_1 = 90$ и $a_{36} = -15$.

В этом случае $n = 36$. Подставим значения в формулу:

$d = \frac{a_{36} - a_1}{36-1} = \frac{-15 - 90}{35}$

$d = \frac{-105}{35}$

$d = -3$

Ответ: $d = -3$.

368 Найдите первый член арифметической прогрессии $(x_n)$, если:

а) $x_{30} = 128$, $d = 4$;

б) $x_{45} = -208$, $d = -7$.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $x_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_n$ — n-й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена. Из этой формулы выразим $x_1$: $x_1 = x_n - (n-1)d$.

а)

Нам даны: $x_{30} = 128$ и $d = 4$. Здесь $n=30$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения первого члена:

$x_1 = x_{30} - (30-1)d$

$x_1 = 128 - (29) \cdot 4$

$x_1 = 128 - 116$

$x_1 = 12$

Ответ: $12$.

б)

Нам даны: $x_{45} = -208$ и $d = -7$. Здесь $n=45$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения первого члена:

$x_1 = x_{45} - (45-1)d$

$x_1 = -208 - (44) \cdot (-7)$

$x_1 = -208 - (-308)$

$x_1 = -208 + 308$

$x_1 = 100$

Ответ: $100$.

369 Дана арифметическая прогрессия: $-12; -10.5; -9; -7.5; \dots$. Какой номер имеет член прогрессии, равный:

а) 48;

б) 82,5?

Для решения задачи сначала определим параметры данной арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия задана последовательностью: $-12; -10,5; -9; -7,5; \ldots$

Первый член прогрессии $a_1$ равен -12.

$a_1 = -12$

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем её, вычтя первый член из второго:

$d = a_2 - a_1 = -10,5 - (-12) = -10,5 + 12 = 1,5$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность, а $n$ — номер члена прогрессии.

а)

Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии, равного 48. То есть, $a_n = 48$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена:

$48 = -12 + (n-1) \cdot 1,5$

Решим это уравнение относительно $n$.

Сначала прибавим 12 к обеим частям уравнения:

$48 + 12 = (n-1) \cdot 1,5$

$60 = (n-1) \cdot 1,5$

Теперь разделим обе части на 1,5:

$n-1 = \frac{60}{1,5}$

$n-1 = 40$

И, наконец, найдем $n$:

$n = 40 + 1$

$n = 41$

Ответ: 41.

б)

Теперь найдем номер $n$ для члена прогрессии, равного 82,5. То есть, $a_n = 82,5$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена:

$82,5 = -12 + (n-1) \cdot 1,5$

Решим это уравнение относительно $n$.

Прибавим 12 к обеим частям уравнения:

$82,5 + 12 = (n-1) \cdot 1,5$

$94,5 = (n-1) \cdot 1,5$

Разделим обе части на 1,5:

$n-1 = \frac{94,5}{1,5}$

$n-1 = 63$

Найдем $n$:

$n = 63 + 1$

$n = 64$

Ответ: 64.