Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

354 Выпишите первые шесть членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1$;

б) $a_1 = 10, a_{n+1} = a_n - 5$;

в) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n$;

г) $a_1 = 1000, a_{n+1} = 0,1a_n$;

д) $a_1 = 8, a_{n+1} = -0,5a_n$;

е) $a_1 = -10, a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$.

а) По условию задачи, первый член последовательности $a_1 = 1$ и задана рекуррентная формула $a_{n+1} = a_n + 1$. Это означает, что каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Найдем первые шесть членов последовательности.
Первый член дан: $a_1 = 1$.
Второй член: $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Третий член: $a_3 = a_2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Шестой член: $a_6 = a_5 + 1 = 5 + 1 = 6$.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

б) По условию, $a_1 = 10$ и $a_{n+1} = a_n - 5$. Это означает, что каждый следующий член на 5 меньше предыдущего. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 10$.
$a_2 = a_1 - 5 = 10 - 5 = 5$.
$a_3 = a_2 - 5 = 5 - 5 = 0$.
$a_4 = a_3 - 5 = 0 - 5 = -5$.
$a_5 = a_4 - 5 = -5 - 5 = -10$.
$a_6 = a_5 - 5 = -10 - 5 = -15$.
Ответ: 10, 5, 0, -5, -10, -15.

в) По условию, $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = 2a_n$. Это означает, что каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 1$.
$a_2 = 2 \cdot a_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
$a_3 = 2 \cdot a_2 = 2 \cdot 2 = 4$.
$a_4 = 2 \cdot a_3 = 2 \cdot 4 = 8$.
$a_5 = 2 \cdot a_4 = 2 \cdot 8 = 16$.
$a_6 = 2 \cdot a_5 = 2 \cdot 16 = 32$.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

г) По условию, $a_1 = 1000$ и $a_{n+1} = 0,1a_n$. Это означает, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 0,1. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 1000$.
$a_2 = 0,1 \cdot a_1 = 0,1 \cdot 1000 = 100$.
$a_3 = 0,1 \cdot a_2 = 0,1 \cdot 100 = 10$.
$a_4 = 0,1 \cdot a_3 = 0,1 \cdot 10 = 1$.
$a_5 = 0,1 \cdot a_4 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$.
$a_6 = 0,1 \cdot a_5 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.
Ответ: 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01.

д) По условию, $a_1 = 8$ и $a_{n+1} = -0,5a_n$. Это означает, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на -0,5. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = 8$.
$a_2 = -0,5 \cdot a_1 = -0,5 \cdot 8 = -4$.
$a_3 = -0,5 \cdot a_2 = -0,5 \cdot (-4) = 2$.
$a_4 = -0,5 \cdot a_3 = -0,5 \cdot 2 = -1$.
$a_5 = -0,5 \cdot a_4 = -0,5 \cdot (-1) = 0,5$.
$a_6 = -0,5 \cdot a_5 = -0,5 \cdot 0,5 = -0,25$.
Ответ: 8, -4, 2, -1, 0,5, -0,25.

е) По условию, $a_1 = -10$ и $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$. Это означает, что каждый следующий член является обратным к предыдущему. Найдем первые шесть членов.
$a_1 = -10$.
$a_2 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{-10} = -0,1$.
$a_3 = \frac{1}{a_2} = \frac{1}{-0,1} = -10$.
$a_4 = \frac{1}{a_3} = \frac{1}{-10} = -0,1$.
$a_5 = \frac{1}{a_4} = \frac{1}{-0,1} = -10$.
$a_6 = \frac{1}{a_5} = \frac{1}{-10} = -0,1$.
Члены последовательности чередуются.
Ответ: -10, -0,1, -10, -0,1, -10, -0,1.

355 Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два члена и задайте её рекуррентным способом:

а) $(a_n)$: 64; 60; 56; 52; 48; ...

б) $(c_n)$: 3; 8; 13; 18; 23; ...

в) $(x_n)$: 1; 3; 9; 27; 81; ...

г) $(b_n)$: 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ...

а)

Рассмотрим последовательность $(a_n)$: 64; 60; 56; 52; 48; ...
1. Правило построения. Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 60 - 64 = -4$
$a_3 - a_2 = 56 - 60 = -4$
$a_4 - a_3 = 52 - 56 = -4$
$a_5 - a_4 = 48 - 52 = -4$
Каждый следующий член последовательности получается из предыдущего вычитанием числа 4. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -4$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$a_6 = a_5 - 4 = 48 - 4 = 44$
$a_7 = a_6 - 4 = 44 - 4 = 40$
Следующие два члена: 44 и 40.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид $a_{n+1} = a_n + d$. В данном случае $a_1 = 64$ и $d = -4$.
Формула: $a_1 = 64$, $a_{n+1} = a_n - 4$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 44 и 40. Рекуррентная формула: $a_1 = 64$, $a_{n+1} = a_n - 4$.

б)

Рассмотрим последовательность $(c_n)$: 3; 8; 13; 18; 23; ...
1. Правило построения. Найдем разность между соседними членами последовательности:
$c_2 - c_1 = 8 - 3 = 5$
$c_3 - c_2 = 13 - 8 = 5$
$c_4 - c_3 = 18 - 13 = 5$
$c_5 - c_4 = 23 - 18 = 5$
Каждый следующий член последовательности получается из предыдущего прибавлением числа 5. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 5$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$c_6 = c_5 + 5 = 23 + 5 = 28$
$c_7 = c_6 + 5 = 28 + 5 = 33$
Следующие два члена: 28 и 33.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид $c_{n+1} = c_n + d$. В данном случае $c_1 = 3$ и $d = 5$.
Формула: $c_1 = 3$, $c_{n+1} = c_n + 5$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 28 и 33. Рекуррентная формула: $c_1 = 3$, $c_{n+1} = c_n + 5$.

в)

Рассмотрим последовательность $(x_n)$: 1; 3; 9; 27; 81; ...
1. Правило построения. Найдем отношение соседних членов последовательности:
$x_2 / x_1 = 3 / 1 = 3$
$x_3 / x_2 = 9 / 3 = 3$
$x_4 / x_3 = 27 / 9 = 3$
$x_5 / x_4 = 81 / 27 = 3$
Каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на число 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$x_6 = x_5 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$
$x_7 = x_6 \cdot 3 = 243 \cdot 3 = 729$
Следующие два члена: 243 и 729.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид $x_{n+1} = x_n \cdot q$. В данном случае $x_1 = 1$ и $q = 3$.
Формула: $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 3x_n$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 243 и 729. Рекуррентная формула: $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 3x_n$.

г)

Рассмотрим последовательность $(b_n)$: 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ...
1. Правило построения. Найдем отношение соседних членов последовательности:
$b_2 / b_1 = 50 / 500 = 0,1$
$b_3 / b_2 = 5 / 50 = 0,1$
$b_4 / b_3 = 0,5 / 5 = 0,1$
$b_5 / b_4 = 0,05 / 0,5 = 0,1$
Каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на число 0,1 (или делением на 10). Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 0,1$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$b_6 = b_5 \cdot 0,1 = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005$
$b_7 = b_6 \cdot 0,1 = 0,005 \cdot 0,1 = 0,0005$
Следующие два члена: 0,005 и 0,0005.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид $b_{n+1} = b_n \cdot q$. В данном случае $b_1 = 500$ и $q = 0,1$.
Формула: $b_1 = 500$, $b_{n+1} = 0,1 \cdot b_n$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 0,005 и 0,0005. Рекуррентная формула: $b_1 = 500$, $b_{n+1} = 0,1 \cdot b_n$.

356 Запишите первые десять членов последовательности ($c_n$), если:

а) $c_1 = 0$, $c_2 = 4$, $c_n = \frac{c_{n-1} + c_{n-2}}{2}$ $(n \ge 3)$;

б) $c_1 = 1$, $c_2 = 2$, $c_n = \frac{c_{n-1}}{c_{n-2}}$ $(n \ge 3)$.

а)

Даны первые два члена последовательности $c_1 = 0$, $c_2 = 4$ и рекуррентная формула $c_n = \frac{c_{n-1} + c_{n-2}}{2}$ для $n \ge 3$. Вычислим следующие члены последовательности по этой формуле, используя предыдущие два члена для нахождения каждого нового.

Для $n=3$: $c_3 = \frac{c_2 + c_1}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$.

Для $n=4$: $c_4 = \frac{c_3 + c_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

Для $n=5$: $c_5 = \frac{c_4 + c_3}{2} = \frac{3 + 2}{2} = 2,5$.

Для $n=6$: $c_6 = \frac{c_5 + c_4}{2} = \frac{2,5 + 3}{2} = \frac{5,5}{2} = 2,75$.

Для $n=7$: $c_7 = \frac{c_6 + c_5}{2} = \frac{2,75 + 2,5}{2} = \frac{5,25}{2} = 2,625$.

Для $n=8$: $c_8 = \frac{c_7 + c_6}{2} = \frac{2,625 + 2,75}{2} = \frac{5,375}{2} = 2,6875$.

Для $n=9$: $c_9 = \frac{c_8 + c_7}{2} = \frac{2,6875 + 2,625}{2} = \frac{5,3125}{2} = 2,65625$.

Для $n=10$: $c_{10} = \frac{c_9 + c_8}{2} = \frac{2,65625 + 2,6875}{2} = \frac{5,34375}{2} = 2,671875$.

Ответ: 0; 4; 2; 3; 2,5; 2,75; 2,625; 2,6875; 2,65625; 2,671875.

б)

Даны первые два члена последовательности $c_1 = 1$, $c_2 = 2$ и рекуррентная формула $c_n = \frac{c_{n-1}}{c_{n-2}}$ для $n \ge 3$. Вычислим следующие члены последовательности по этой формуле.

Для $n=3$: $c_3 = \frac{c_2}{c_1} = \frac{2}{1} = 2$.

Для $n=4$: $c_4 = \frac{c_3}{c_2} = \frac{2}{2} = 1$.

Для $n=5$: $c_5 = \frac{c_4}{c_3} = \frac{1}{2}$.

Для $n=6$: $c_6 = \frac{c_5}{c_4} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$.

Для $n=7$: $c_7 = \frac{c_6}{c_5} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.

Для $n=8$: $c_8 = \frac{c_7}{c_6} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Для $n=9$: $c_9 = \frac{c_8}{c_7} = \frac{2}{1} = 2$.

Для $n=10$: $c_{10} = \frac{c_9}{c_8} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1; 2; 2; 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$; 1; 2; 2; 1.

357 1) Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости: каждому члену соответствует точка, абсцисса которой равна его номеру, а ордината — значению этого члена. На рисунке 4.1 на координатной плоскости изображены первые шесть членов последовательности Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8. Им соответствуют точки: (1; 1), (2; 1), (3; 2), (4; 3), (5; 5), (6; 8). Назовите координаты точек, изображающих седьмой и восьмой члены этой последовательности.

2) Изобразите точками на координатной плоскости первые шесть членов последовательности $(a_n)$, если:

а) $a_n = n - 4$;

в) $a_n = \frac{12}{n}$;

б) $a_n = \frac{n}{2}$;

г) $a_n = 0,5n^2 - 8$.

В каждом случае скажите, на какой линии располагаются построенные точки; проведите тонко эту линию.

1) Последовательность Фибоначчи задается рекуррентной формулой $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n > 2$. Первые шесть членов последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8. То есть, $a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_4=3, a_5=5, a_6=8$.

Чтобы найти седьмой член последовательности, нужно сложить пятый и шестой члены:

$a_7 = a_5 + a_6 = 5 + 8 = 13$.

Координаты точки, изображающей седьмой член, равны номеру члена (абсцисса) и значению члена (ордината), то есть (7; 13).

Чтобы найти восьмой член последовательности, нужно сложить шестой и седьмой члены:

$a_8 = a_6 + a_7 = 8 + 13 = 21$.

Координаты точки, изображающей восьмой член, равны (8; 21).

Ответ: координаты седьмой точки (7; 13), восьмой точки (8; 21).

2)

а) Для последовательности $a_n = n - 4$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = 1 - 4 = -3$

$a_2 = 2 - 4 = -2$

$a_3 = 3 - 4 = -1$

$a_4 = 4 - 4 = 0$

$a_5 = 5 - 4 = 1$

$a_6 = 6 - 4 = 2$

Координаты соответствующих точек: (1; -3), (2; -2), (3; -1), (4; 0), (5; 1), (6; 2). Эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = x - 4$.

Ответ: точки (1; -3), (2; -2), (3; -1), (4; 0), (5; 1), (6; 2) лежат на прямой $y = x - 4$.

б) Для последовательности $a_n = \frac{n}{2}$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = \frac{1}{2} = 0,5$

$a_2 = \frac{2}{2} = 1$

$a_3 = \frac{3}{2} = 1,5$

$a_4 = \frac{4}{2} = 2$

$a_5 = \frac{5}{2} = 2,5$

$a_6 = \frac{6}{2} = 3$

Координаты соответствующих точек: (1; 0,5), (2; 1), (3; 1,5), (4; 2), (5; 2,5), (6; 3). Эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = \frac{x}{2}$ или $y = 0,5x$.

Ответ: точки (1; 0,5), (2; 1), (3; 1,5), (4; 2), (5; 2,5), (6; 3) лежат на прямой $y = \frac{x}{2}$.

в) Для последовательности $a_n = \frac{12}{n}$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = \frac{12}{1} = 12$

$a_2 = \frac{12}{2} = 6$

$a_3 = \frac{12}{3} = 4$

$a_4 = \frac{12}{4} = 3$

$a_5 = \frac{12}{5} = 2,4$

$a_6 = \frac{12}{6} = 2$

Координаты соответствующих точек: (1; 12), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (5; 2,4), (6; 2). Эти точки лежат на кривой, которая является ветвью гиперболы, заданной уравнением $y = \frac{12}{x}$.

Ответ: точки (1; 12), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (5; 2,4), (6; 2) лежат на гиперболе $y = \frac{12}{x}$.

г) Для последовательности $a_n = 0,5n^2 - 8$ найдем первые шесть членов:

$a_1 = 0,5 \cdot 1^2 - 8 = 0,5 - 8 = -7,5$

$a_2 = 0,5 \cdot 2^2 - 8 = 0,5 \cdot 4 - 8 = 2 - 8 = -6$

$a_3 = 0,5 \cdot 3^2 - 8 = 0,5 \cdot 9 - 8 = 4,5 - 8 = -3,5$

$a_4 = 0,5 \cdot 4^2 - 8 = 0,5 \cdot 16 - 8 = 8 - 8 = 0$

$a_5 = 0,5 \cdot 5^2 - 8 = 0,5 \cdot 25 - 8 = 12,5 - 8 = 4,5$

$a_6 = 0,5 \cdot 6^2 - 8 = 0,5 \cdot 36 - 8 = 18 - 8 = 10$

Координаты соответствующих точек: (1; -7,5), (2; -6), (3; -3,5), (4; 0), (5; 4,5), (6; 10). Эти точки лежат на кривой, которая является параболой, заданной уравнением $y = 0,5x^2 - 8$.

Ответ: точки (1; -7,5), (2; -6), (3; -3,5), (4; 0), (5; 4,5), (6; 10) лежат на параболе $y = 0,5x^2 - 8$.

358 На рисунке 4.2 (а; б) изображены точками первые семь членов последовательности $(a_n)$. Запишите эти члены последовательности в порядке возрастания их номеров. Задайте последовательность $(a_n)$ рекуррентным способом.

Рис. 4.2

а) $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 0$, $a_4 = -1$, $a_5 = -2$, $a_6 = -3$, $a_7 = -4$

$a_1 = 2$

$a_n = a_{n-1} - 1$

б) $a_1 = -2$, $a_2 = -1$, $a_3 = 0$, $a_4 = 1$, $a_5 = 2$, $a_6 = 3$, $a_7 = 4$

$a_1 = -2$

$a_n = a_{n-1} + 1$

а)

На графике (а) по оси абсцисс отложены номера членов последовательности ($n$), а по оси ординат — их значения ($a_n$). Чтобы записать первые семь членов последовательности, определим координаты каждой из семи точек:

Для $n=1$, значение $a_1 = 3$.
Для $n=2$, значение $a_2 = 2$.
Для $n=3$, значение $a_3 = 1$.
Для $n=4$, значение $a_4 = 0$.
Для $n=5$, значение $a_5 = -1$.
Для $n=6$, значение $a_6 = -2$.
Для $n=7$, значение $a_7 = -3$.

Таким образом, первые семь членов последовательности, записанные в порядке возрастания их номеров: 3; 2; 1; 0; -1; -2; -3.

Для того чтобы задать последовательность рекуррентным способом, необходимо найти зависимость между последующим и предыдущим членами. Найдем разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$
$a_3 - a_2 = 1 - 2 = -1$
$a_4 - a_3 = 0 - 1 = -1$

Разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна -1. Это означает, что данная последовательность является арифметической прогрессией. Каждый следующий член можно получить, вычтя 1 из предыдущего. Рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n - 1$. Для полного задания последовательности необходимо указать ее первый член $a_1 = 3$.

Ответ: Первые семь членов последовательности: 3; 2; 1; 0; -1; -2; -3. Рекуррентное задание: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n - 1$.

б)

Аналогично проанализируем график (б). Следует учесть, что цена одного деления на оси ординат равна 0,5. Определим координаты первых семи точек:

Для $n=1$, значение $a_1 = -1,5$.
Для $n=2$, значение $a_2 = -1$.
Для $n=3$, значение $a_3 = -0,5$.
Для $n=4$, значение $a_4 = 0$.
Для $n=5$, значение $a_5 = 0,5$.
Для $n=6$, значение $a_6 = 1$.
Для $n=7$, значение $a_7 = 1,5$.

Таким образом, первые семь членов последовательности, записанные в порядке возрастания их номеров: -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5.

Найдем рекуррентную формулу, вычислив разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = -1 - (-1,5) = 0,5$
$a_3 - a_2 = -0,5 - (-1) = 0,5$
$a_4 - a_3 = 0 - (-0,5) = 0,5$

Разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна 0,5. Это арифметическая прогрессия. Каждый следующий член можно получить, прибавив 0,5 к предыдущему. Рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n + 0,5$. Первый член последовательности $a_1 = -1,5$.

Ответ: Первые семь членов последовательности: -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5. Рекуррентное задание: $a_1 = -1,5$, $a_{n+1} = a_n + 0,5$.

359 Последовательность ($c_n$) задана формулой $c_n = n^2 - 6n + 5$. Найдите все члены последовательности, которые изображаются на координатной плоскости точками, расположенными ниже прямой $y = 12$. Постройте эти точки.

Найдите все члены последовательности, которые изображаются на координатной плоскости точками, расположенными ниже прямой y = 12

Дана последовательность $(c_n)$ с общей формулой $c_n = n^2 - 6n + 5$. На координатной плоскости члены этой последовательности представляются точками с координатами $(n, c_n)$, где $n$ — натуральное число.

Условие, что точки расположены ниже прямой $y = 12$, означает, что значение члена последовательности $c_n$ должно быть строго меньше 12. Запишем это в виде неравенства:
$c_n < 12$

Подставим в неравенство формулу для $c_n$:
$n^2 - 6n + 5 < 12$

Для решения перенесем все члены в левую часть:
$n^2 - 6n + 5 - 12 < 0$
$n^2 - 6n - 7 < 0$

Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 6n - 7 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$
$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$
$n_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$
$n_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Графиком функции $y = n^2 - 6n - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут отрицательными между ее корнями. Решением неравенства $n^2 - 6n - 7 < 0$ является интервал $-1 < n < 7$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Выберем все натуральные числа из интервала $(-1; 7)$:
$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Теперь вычислим значения соответствующих членов последовательности $c_n$:
Для $n=1: c_1 = 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$
Для $n=2: c_2 = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$
Для $n=3: c_3 = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Для $n=4: c_4 = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$
Для $n=5: c_5 = 5^2 - 6(5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$
Для $n=6: c_6 = 6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5$

Ответ: Члены последовательности, которые на координатной плоскости расположены ниже прямой $y=12$: $c_1=0$, $c_2=-3$, $c_3=-4$, $c_4=-3$, $c_5=0$, $c_6=5$.

Постройте эти точки

Для построения необходимо нанести на координатную плоскость точки с координатами $(n, c_n)$, которые мы нашли в предыдущем пункте.
Координаты искомых точек:
$(1; 0)$
$(2; -3)$
$(3; -4)$
$(4; -3)$
$(5; 0)$
$(6; 5)$

Для построения графика нужно:
1. Начертить оси координат $Ox$ и $Oy$.
2. Выбрать единичный отрезок.
3. Отметить на плоскости точки с указанными выше координатами.
4. Для проверки можно начертить прямую $y=12$ и убедиться, что все отмеченные точки находятся ниже нее.

Ответ: На координатной плоскости следует построить точки с координатами $(1; 0)$, $(2; -3)$, $(3; -4)$, $(4; -3)$, $(5; 0)$ и $(6; 5)$.