Номер 358, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 358, страница 133.

358 На рисунке 4.2 (а; б) изображены точками первые семь членов последовательности $(a_n)$. Запишите эти члены последовательности в порядке возрастания их номеров. Задайте последовательность $(a_n)$ рекуррентным способом.

Рис. 4.2

а) $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 0$, $a_4 = -1$, $a_5 = -2$, $a_6 = -3$, $a_7 = -4$

$a_1 = 2$

$a_n = a_{n-1} - 1$

б) $a_1 = -2$, $a_2 = -1$, $a_3 = 0$, $a_4 = 1$, $a_5 = 2$, $a_6 = 3$, $a_7 = 4$

$a_1 = -2$

$a_n = a_{n-1} + 1$

а)

На графике (а) по оси абсцисс отложены номера членов последовательности ($n$), а по оси ординат — их значения ($a_n$). Чтобы записать первые семь членов последовательности, определим координаты каждой из семи точек:

Для $n=1$, значение $a_1 = 3$.
Для $n=2$, значение $a_2 = 2$.
Для $n=3$, значение $a_3 = 1$.
Для $n=4$, значение $a_4 = 0$.
Для $n=5$, значение $a_5 = -1$.
Для $n=6$, значение $a_6 = -2$.
Для $n=7$, значение $a_7 = -3$.

Таким образом, первые семь членов последовательности, записанные в порядке возрастания их номеров: 3; 2; 1; 0; -1; -2; -3.

Для того чтобы задать последовательность рекуррентным способом, необходимо найти зависимость между последующим и предыдущим членами. Найдем разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$
$a_3 - a_2 = 1 - 2 = -1$
$a_4 - a_3 = 0 - 1 = -1$

Разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна -1. Это означает, что данная последовательность является арифметической прогрессией. Каждый следующий член можно получить, вычтя 1 из предыдущего. Рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n - 1$. Для полного задания последовательности необходимо указать ее первый член $a_1 = 3$.

Ответ: Первые семь членов последовательности: 3; 2; 1; 0; -1; -2; -3. Рекуррентное задание: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n - 1$.

б)

Аналогично проанализируем график (б). Следует учесть, что цена одного деления на оси ординат равна 0,5. Определим координаты первых семи точек:

Для $n=1$, значение $a_1 = -1,5$.
Для $n=2$, значение $a_2 = -1$.
Для $n=3$, значение $a_3 = -0,5$.
Для $n=4$, значение $a_4 = 0$.
Для $n=5$, значение $a_5 = 0,5$.
Для $n=6$, значение $a_6 = 1$.
Для $n=7$, значение $a_7 = 1,5$.

Таким образом, первые семь членов последовательности, записанные в порядке возрастания их номеров: -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5.

Найдем рекуррентную формулу, вычислив разность между соседними членами:

$a_2 - a_1 = -1 - (-1,5) = 0,5$
$a_3 - a_2 = -0,5 - (-1) = 0,5$
$a_4 - a_3 = 0 - (-0,5) = 0,5$

Разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна 0,5. Это арифметическая прогрессия. Каждый следующий член можно получить, прибавив 0,5 к предыдущему. Рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n + 0,5$. Первый член последовательности $a_1 = -1,5$.

Ответ: Первые семь членов последовательности: -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5. Рекуррентное задание: $a_1 = -1,5$, $a_{n+1} = a_n + 0,5$.