Номер 355, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 355, страница 133.

355 Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два члена и задайте её рекуррентным способом:

а) $(a_n)$: 64; 60; 56; 52; 48; ...

б) $(c_n)$: 3; 8; 13; 18; 23; ...

в) $(x_n)$: 1; 3; 9; 27; 81; ...

г) $(b_n)$: 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ...

а)

Рассмотрим последовательность $(a_n)$: 64; 60; 56; 52; 48; ...
1. Правило построения. Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 60 - 64 = -4$
$a_3 - a_2 = 56 - 60 = -4$
$a_4 - a_3 = 52 - 56 = -4$
$a_5 - a_4 = 48 - 52 = -4$
Каждый следующий член последовательности получается из предыдущего вычитанием числа 4. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -4$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$a_6 = a_5 - 4 = 48 - 4 = 44$
$a_7 = a_6 - 4 = 44 - 4 = 40$
Следующие два члена: 44 и 40.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид $a_{n+1} = a_n + d$. В данном случае $a_1 = 64$ и $d = -4$.
Формула: $a_1 = 64$, $a_{n+1} = a_n - 4$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 44 и 40. Рекуррентная формула: $a_1 = 64$, $a_{n+1} = a_n - 4$.

б)

Рассмотрим последовательность $(c_n)$: 3; 8; 13; 18; 23; ...
1. Правило построения. Найдем разность между соседними членами последовательности:
$c_2 - c_1 = 8 - 3 = 5$
$c_3 - c_2 = 13 - 8 = 5$
$c_4 - c_3 = 18 - 13 = 5$
$c_5 - c_4 = 23 - 18 = 5$
Каждый следующий член последовательности получается из предыдущего прибавлением числа 5. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 5$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$c_6 = c_5 + 5 = 23 + 5 = 28$
$c_7 = c_6 + 5 = 28 + 5 = 33$
Следующие два члена: 28 и 33.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид $c_{n+1} = c_n + d$. В данном случае $c_1 = 3$ и $d = 5$.
Формула: $c_1 = 3$, $c_{n+1} = c_n + 5$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 28 и 33. Рекуррентная формула: $c_1 = 3$, $c_{n+1} = c_n + 5$.

в)

Рассмотрим последовательность $(x_n)$: 1; 3; 9; 27; 81; ...
1. Правило построения. Найдем отношение соседних членов последовательности:
$x_2 / x_1 = 3 / 1 = 3$
$x_3 / x_2 = 9 / 3 = 3$
$x_4 / x_3 = 27 / 9 = 3$
$x_5 / x_4 = 81 / 27 = 3$
Каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на число 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$x_6 = x_5 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$
$x_7 = x_6 \cdot 3 = 243 \cdot 3 = 729$
Следующие два члена: 243 и 729.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид $x_{n+1} = x_n \cdot q$. В данном случае $x_1 = 1$ и $q = 3$.
Формула: $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 3x_n$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 243 и 729. Рекуррентная формула: $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 3x_n$.

г)

Рассмотрим последовательность $(b_n)$: 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ...
1. Правило построения. Найдем отношение соседних членов последовательности:
$b_2 / b_1 = 50 / 500 = 0,1$
$b_3 / b_2 = 5 / 50 = 0,1$
$b_4 / b_3 = 0,5 / 5 = 0,1$
$b_5 / b_4 = 0,05 / 0,5 = 0,1$
Каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на число 0,1 (или делением на 10). Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 0,1$.

2. Следующие два члена. Найдем шестой и седьмой члены последовательности:
$b_6 = b_5 \cdot 0,1 = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005$
$b_7 = b_6 \cdot 0,1 = 0,005 \cdot 0,1 = 0,0005$
Следующие два члена: 0,005 и 0,0005.

3. Рекуррентный способ. Рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид $b_{n+1} = b_n \cdot q$. В данном случае $b_1 = 500$ и $q = 0,1$.
Формула: $b_1 = 500$, $b_{n+1} = 0,1 \cdot b_n$ для $n \ge 1$.

Ответ: Следующие два члена — 0,005 и 0,0005. Рекуррентная формула: $b_1 = 500$, $b_{n+1} = 0,1 \cdot b_n$.