Номер 351, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 351, страница 132.

351 Последовательность ($z_n$) задана формулой $z_n = n - \frac{1}{n}$. Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10. Сколько таких членов?

Последовательность $(z_n)$ задана формулой $z_n = n - \frac{1}{n}$. Чтобы найти все члены этой последовательности, которые меньше 10, необходимо решить неравенство $z_n < 10$ для натуральных $n$ ($n \in \mathbb{N}$).

$n - \frac{1}{n} < 10$

Поскольку $n$ - натуральное число, оно всегда положительно ($n>0$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $n$, не меняя знака неравенства:

$n \cdot (n - \frac{1}{n}) < 10 \cdot n$

$n^2 - 1 < 10n$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$n^2 - 10n - 1 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 10n - 1 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 100 + 4 = 104$

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = 5 \pm \sqrt{\frac{104}{4}} = 5 \pm \sqrt{26}$

Графиком функции $y = n^2 - 10n - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства:

$5 - \sqrt{26} < n < 5 + \sqrt{26}$

Оценим числовые значения границ этого интервала. Зная, что $5^2 = 25$ и $5.1^2 = 26.01$, можно сказать, что $\sqrt{26} \approx 5.1$.

$5 - 5.1 < n < 5 + 5.1$

$-0.1 < n < 10.1$

Так как $n$ может быть только натуральным числом, то этому условию удовлетворяют следующие значения $n$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10.

Вычислим значения членов последовательности для каждого найденного $n$:

• $n=1: z_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0$
• $n=2: z_2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
• $n=3: z_3 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
• $n=4: z_4 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
• $n=5: z_5 = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$
• $n=6: z_6 = 6 - \frac{1}{6} = \frac{35}{6}$
• $n=7: z_7 = 7 - \frac{1}{7} = \frac{48}{7}$
• $n=8: z_8 = 8 - \frac{1}{8} = \frac{63}{8}$
• $n=9: z_9 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$
• $n=10: z_{10} = 10 - \frac{1}{10} = \frac{99}{10}$

Ответ: $0; \frac{3}{2}; \frac{8}{3}; \frac{15}{4}; \frac{24}{5}; \frac{35}{6}; \frac{48}{7}; \frac{63}{8}; \frac{80}{9}; \frac{99}{10}$.

Сколько таких членов?

Количество натуральных номеров $n$ от 1 до 10 включительно равно 10.

Ответ: 10.