Номер 341, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

4.1 Числовые последовательности. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия - номер 341, страница 131.

341 Пусть $(c_n)$ — последовательность правильных несократимых дробей со знаменателем 40.

1) Закончите равенства: $c_5 = \dots$, $c_8 = \dots$, $c_{10} = \dots$.

2) Укажите номер члена последовательности, равного $\frac{13}{40}$, $\frac{17}{40}$, $\frac{33}{40}$.

3) Найдите последний член этой последовательности и укажите его номер.

Последовательность $(c_n)$ состоит из правильных несократимых дробей со знаменателем 40, расположенных в порядке возрастания. Правильная дробь со знаменателем 40 имеет вид $\frac{m}{40}$, где $m$ - натуральное число и $1 \le m < 40$. Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В данном случае, должно выполняться условие НОД($m, 40$) = 1.

Найдем простые множители знаменателя: $40 = 2^3 \cdot 5$. Следовательно, чтобы дробь была несократимой, числитель $m$ не должен делиться ни на 2, ни на 5. Выпишем все натуральные числа от 1 до 39, которые удовлетворяют этому условию, в порядке возрастания:

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

Это и есть числители дробей последовательности $(c_n)$. Всего таких чисел 16, что соответствует значению функции Эйлера $\phi(40) = 40(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5}) = 16$. Таким образом, последовательность $(c_n)$ состоит из 16 членов. Сама последовательность выглядит так:

$c_1 = \frac{1}{40}, c_2 = \frac{3}{40}, c_3 = \frac{7}{40}, c_4 = \frac{9}{40}, c_5 = \frac{11}{40}, \dots$

1) Закончите равенства: $c_5 = ...$ , $c_8 = ...$ , $c_{10} = ...$ .

Для нахождения указанных членов последовательности обратимся к нашему списку числителей: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

• Пятый член списка - число 11. Следовательно, $c_5 = \frac{11}{40}$.
• Восьмой член списка - число 19. Следовательно, $c_8 = \frac{19}{40}$.
• Десятый член списка - число 23. Следовательно, $c_{10} = \frac{23}{40}$.

Ответ: $c_5 = \frac{11}{40}$, $c_8 = \frac{19}{40}$, $c_{10} = \frac{23}{40}$.

2) Укажите номер члена последовательности, равного $\frac{13}{40}, \frac{17}{40}, \frac{33}{40}$.

Чтобы найти номер члена последовательности, нужно определить позицию (порядковый номер) его числителя в упорядоченном списке числителей: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

• Числитель 13 стоит на 6-м месте в списке. Значит, дробь $\frac{13}{40}$ - это $c_6$.
• Числитель 17 стоит на 7-м месте в списке. Значит, дробь $\frac{17}{40}$ - это $c_7$.
• Числитель 33 стоит на 14-м месте в списке. Значит, дробь $\frac{33}{40}$ - это $c_{14}$.

Ответ: Дроби $\frac{13}{40}$, $\frac{17}{40}$ и $\frac{33}{40}$ являются 6-м, 7-м и 14-м членами последовательности соответственно.

3) Найдите последний член этой последовательности и укажите его номер.

Последний член последовательности соответствует самой большой правильной несократимой дроби со знаменателем 40. Это означает, что мы должны взять самый большой числитель из нашего списка: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39. Наибольший числитель - 39.

Таким образом, последний член последовательности - это дробь $\frac{39}{40}$.

Номер этого члена равен общему количеству членов в последовательности. Как мы уже определили, в списке 16 числителей, значит, и в последовательности 16 членов. Следовательно, последний член имеет номер 16.

Ответ: Последний член последовательности - $c_{16} = \frac{39}{40}$, его номер - 16.