Номер 7, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 7, страница 125.

7 a) $x^3 + 2x^2 = 0$

б) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

a) Решим уравнение $x^3 + 2x^2 = 0$.

Это неполное кубическое уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда получаем корень $x_1 = 0$.

2) $x + 2 = 0$, откуда получаем корень $x_2 = -2$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $0; -2$.

б) Решим уравнение $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Оно решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, получим следующее квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $t$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Методом подбора находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

В итоге мы получили четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm\sqrt{2}$.