Номер 11, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 11, страница 123.

11 При каких значениях параметра $c$ прямая $x + y = c$:

касается окружности $x^2 + y^2 = 2$? пересекает эту окружность?

Для решения данной задачи мы можем использовать как алгебраический, так и геометрический подход. Геометрический подход, основанный на анализе расстояния от центра окружности до прямой, является более наглядным.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2$ задает окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$, где $R^2 = 2$, следовательно, $R = \sqrt{2}$.

Уравнение прямой $x + y = c$ можно представить в общем виде как $x + y - c = 0$.

Расстояние $d$ от центра окружности $O(x_0, y_0) = (0, 0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ (где $A=1, B=1, C=-c$) вычисляется по формуле:

$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$

Теперь, зная радиус окружности и расстояние от ее центра до прямой, мы можем определить условия их касания и пересечения.

При каких значениях параметра c прямая касается окружности

Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу, то есть $d = R$. В этом случае прямая и окружность имеют ровно одну общую точку.

Составим уравнение, приравняв найденное расстояние $d$ к радиусу $R$:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Решим это уравнение относительно параметра $c$:

$|c| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|c| = 2$

Данное уравнение имеет два решения: $c = 2$ и $c = -2$.

Ответ: $c = \pm 2$.

При каких значениях параметра c прямая пересекает эту окружность

Прямая пересекает окружность, если она является секущей, то есть имеет с окружностью две различные общие точки. Это условие выполняется, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то есть $d < R$.

Составим соответствующее неравенство:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2}$

Решим это неравенство относительно параметра $c$:

$|c| < 2$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 < c < 2$.

Ответ: $c \in (-2, 2)$.