Номер 9, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 9, страница 123.

9 Сколько решений может иметь система уравнений $\begin{cases} y = 1 - x^2, \\ y = x^2 + c \end{cases}$?

Укажите значения c, при которых система имеет одно решение; не имеет решений.

Для определения количества решений системы уравнений, мы можем решить ее аналитически или графически. Решим аналитически, приравняв выражения для $y$ из обоих уравнений:

$1 - x^2 = x^2 + c$

Теперь соберем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а постоянные члены — в другой:

$1 - c = x^2 + x^2$

$1 - c = 2x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1 - c}{2}$

Количество решений этого уравнения (и, соответственно, исходной системы) зависит от знака выражения в правой части.

• Если $\frac{1 - c}{2} > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня для $x$, и система имеет два решения.
• Если $\frac{1 - c}{2} = 0$, то уравнение имеет один корень $x=0$, и система имеет одно решение.
• Если $\frac{1 - c}{2} < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет решений (0 решений).

Таким образом, система уравнений может иметь 0, 1 или 2 решения.

система имеет одно решение

Система имеет одно решение, если уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ имеет ровно один корень. Это происходит, когда правая часть уравнения равна нулю.

$\frac{1 - c}{2} = 0$

$1 - c = 0$

$c = 1$

При $c = 1$ система имеет одно решение. Графически это означает, что две параболы $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 + 1$ касаются в одной точке — своей общей вершине $(0, 1)$.

Ответ: при $c = 1$.

не имеет решений

Система не имеет решений, если уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть уравнения отрицательна, так как квадрат действительного числа не может быть меньше нуля.

$\frac{1 - c}{2} < 0$

Умножим обе части на 2:

$1 - c < 0$

$1 < c$, или $c > 1$

При $c > 1$ система не имеет решений. Графически это означает, что вершина параболы $y = x^2 + c$ находится выше вершины параболы $y = 1 - x^2$, и графики не пересекаются.

Ответ: при $c > 1$.