Номер 7, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 7, страница 123.

7. При каких значениях параметра $a$ решением системы уравнений

$$\begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1. \end{cases}$$

является: пара положительных чисел? пара отрицательных чисел? пара чисел, одно из которых 0?

Сначала решим данную систему уравнений, чтобы выразить $x$ и $y$ через параметр $a$.

Система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1. \end{cases} $$

Для решения системы удобно использовать метод сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(x + y) + (3x - y) = (a + 1) + (a - 1)$

$4x = 2a$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$\frac{a}{2} + y = a + 1$

$y = a + 1 - \frac{a}{2}$

$y = \frac{2a - a}{2} + 1 = \frac{a}{2} + 1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x; y) = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2} + 1)$.

Теперь проанализируем условия, при которых решение удовлетворяет каждому из заданных вопросов.

пара положительных чисел

Решение является парой положительных чисел, если одновременно выполняются два условия: $x > 0$ и $y > 0$. Составим и решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} > 0 \\ \frac{a}{2} + 1 > 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $a > 0$.

Из второго неравенства получаем $\frac{a}{2} > -1$, что равносильно $a > -2$.

Оба неравенства ($a > 0$ и $a > -2$) должны выполняться одновременно. Пересечением этих двух условий является $a > 0$.

Ответ: при $a \in (0; +\infty)$.

пара отрицательных чисел

Решение является парой отрицательных чисел, если одновременно выполняются два условия: $x < 0$ и $y < 0$. Составим и решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} < 0 \\ \frac{a}{2} + 1 < 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $a < 0$.

Из второго неравенства получаем $\frac{a}{2} < -1$, что равносильно $a < -2$.

Оба неравенства ($a < 0$ и $a < -2$) должны выполняться одновременно. Пересечением этих двух условий является $a < -2$.

Ответ: при $a \in (-\infty; -2)$.

пара чисел, одно из которых 0

Это условие выполняется, если либо $x = 0$, либо $y = 0$.

1. Рассмотрим случай $x = 0$:

$\frac{a}{2} = 0 \implies a = 0$

При $a = 0$ решение системы: $x=0$, $y = \frac{0}{2} + 1 = 1$. Пара $(0; 1)$ удовлетворяет условию.

2. Рассмотрим случай $y = 0$:

$\frac{a}{2} + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2$

При $a = -2$ решение системы: $x = \frac{-2}{2} = -1$, $y=0$. Пара $(-1; 0)$ удовлетворяет условию.

Следовательно, данное условие выполняется при двух значениях параметра $a$.

Ответ: при $a = 0$ и $a = -2$.