Страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

6 Решите систему линейных уравнений ($x, y$ — переменные, $a$ — параметр):

a) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x + ay = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x - y = 1, \\ 2ax - 3y = 3. \end{cases}$

а)

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x + ay = 2. \end{cases} $$ Для решения системы воспользуемся методом Крамера. Сначала вычислим главный определитель системы $\Delta$: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - 2 \cdot 3 = a - 6. $$ Затем вычислим вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$: $$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - 2 \cdot 2 = a - 4. $$ $$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = -1. $$ Решение системы зависит от значения главного определителя. Рассмотрим два случая.

1. Если главный определитель не равен нулю, $ \Delta \neq 0 $, то есть $ a - 6 \neq 0 \implies a \neq 6 $.
В этом случае система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: $$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{a-4}{a-6} $$ $$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-1}{a-6} = \frac{1}{6-a} $$

2. Если главный определитель равен нулю, $ \Delta = 0 $, то есть $ a = 6 $.
При этом значении параметра $ a $ вспомогательные определители равны: $$ \Delta_x = 6 - 4 = 2 $$ $$ \Delta_y = -1 $$ Поскольку $ \Delta = 0 $, а $ \Delta_x \neq 0 $ (и $ \Delta_y \neq 0 $), система несовместна и не имеет решений.

Ответ: при $ a \neq 6 $ система имеет единственное решение $ (x, y) = (\frac{a-4}{a-6}, \frac{1}{6-a}) $; при $ a = 6 $ система не имеет решений.

б)

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} 4x - y = 1, \\ 2ax - 3y = 3. \end{cases} $$ Решим систему методом Крамера. Найдем главный определитель системы $\Delta$: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2a & -3 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2a = -12 + 2a = 2(a - 6). $$ Найдем вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$: $$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 3 = -3 + 3 = 0. $$ $$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2a & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 2a = 12 - 2a = -2(a-6). $$ Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если главный определитель не равен нулю, $ \Delta \neq 0 $, то есть $ 2(a - 6) \neq 0 \implies a \neq 6 $.
В этом случае система имеет единственное решение: $$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{0}{2(a-6)} = 0 $$ $$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-2(a-6)}{2(a-6)} = -1 $$

2. Если главный определитель равен нулю, $ \Delta = 0 $, то есть $ a = 6 $.
При этом значении параметра $ a $ все определители равны нулю: $$ \Delta = 0, \quad \Delta_x = 0, \quad \Delta_y = 0 $$ Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Чтобы их найти, подставим $ a=6 $ в исходную систему: $$ \begin{cases} 4x - y = 1, \\ 12x - 3y = 3. \end{cases} $$ Второе уравнение ($12x - 3y = 3$) можно получить, умножив первое уравнение ($4x - y = 1$) на 3. Следовательно, система сводится к одному уравнению $ 4x - y = 1 $.
Выразим $ y $ через $ x $: $ y = 4x - 1 $. Решением является любая пара $ (x, y) $, удовлетворяющая этому соотношению.

Ответ: при $ a \neq 6 $ система имеет единственное решение $ (x, y) = (0, -1) $; при $ a = 6 $ система имеет бесконечно много решений вида $ y = 4x - 1 $, где $ x $ — любое действительное число.

7. При каких значениях параметра $a$ решением системы уравнений

$$\begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1. \end{cases}$$

является: пара положительных чисел? пара отрицательных чисел? пара чисел, одно из которых 0?

Сначала решим данную систему уравнений, чтобы выразить $x$ и $y$ через параметр $a$.

Система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1. \end{cases} $$

Для решения системы удобно использовать метод сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(x + y) + (3x - y) = (a + 1) + (a - 1)$

$4x = 2a$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$\frac{a}{2} + y = a + 1$

$y = a + 1 - \frac{a}{2}$

$y = \frac{2a - a}{2} + 1 = \frac{a}{2} + 1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x; y) = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2} + 1)$.

Теперь проанализируем условия, при которых решение удовлетворяет каждому из заданных вопросов.

пара положительных чисел

Решение является парой положительных чисел, если одновременно выполняются два условия: $x > 0$ и $y > 0$. Составим и решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} > 0 \\ \frac{a}{2} + 1 > 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $a > 0$.

Из второго неравенства получаем $\frac{a}{2} > -1$, что равносильно $a > -2$.

Оба неравенства ($a > 0$ и $a > -2$) должны выполняться одновременно. Пересечением этих двух условий является $a > 0$.

Ответ: при $a \in (0; +\infty)$.

пара отрицательных чисел

Решение является парой отрицательных чисел, если одновременно выполняются два условия: $x < 0$ и $y < 0$. Составим и решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} < 0 \\ \frac{a}{2} + 1 < 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $a < 0$.

Из второго неравенства получаем $\frac{a}{2} < -1$, что равносильно $a < -2$.

Оба неравенства ($a < 0$ и $a < -2$) должны выполняться одновременно. Пересечением этих двух условий является $a < -2$.

Ответ: при $a \in (-\infty; -2)$.

пара чисел, одно из которых 0

Это условие выполняется, если либо $x = 0$, либо $y = 0$.

1. Рассмотрим случай $x = 0$:

$\frac{a}{2} = 0 \implies a = 0$

При $a = 0$ решение системы: $x=0$, $y = \frac{0}{2} + 1 = 1$. Пара $(0; 1)$ удовлетворяет условию.

2. Рассмотрим случай $y = 0$:

$\frac{a}{2} + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2$

При $a = -2$ решение системы: $x = \frac{-2}{2} = -1$, $y=0$. Пара $(-1; 0)$ удовлетворяет условию.

Следовательно, данное условие выполняется при двух значениях параметра $a$.

Ответ: при $a = 0$ и $a = -2$.

8 Найдите значения параметра b, при которых точка пересечения прямых $y = 10 - 2x$ и $y = 4x + b$ находится в четвёртой координатной четверти.

Чтобы найти точку пересечения прямых $y = 10 - 2x$ и $y = 4x + b$, необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений:

$10 - 2x = 4x + b$

Теперь выразим координату $x$ точки пересечения через параметр $b$:

$10 - b = 4x + 2x$

$10 - b = 6x$

$x = \frac{10 - b}{6}$

Далее, чтобы найти координату $y$, подставим полученное выражение для $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 10 - 2x = 10 - 2\left(\frac{10 - b}{6}\right) = 10 - \frac{10 - b}{3}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y = \frac{30}{3} - \frac{10 - b}{3} = \frac{30 - (10 - b)}{3} = \frac{30 - 10 + b}{3} = \frac{20 + b}{3}$

Таким образом, координаты точки пересечения $(x_0; y_0)$ равны:

$x_0 = \frac{10 - b}{6}$

$y_0 = \frac{20 + b}{3}$

По условию, точка пересечения должна находиться в четвёртой координатной четверти. Для любой точки в четвёртой четверти её абсцисса (координата $x$) положительна, а ордината (координата $y$) отрицательна. Запишем это в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x_0 > 0 \\ y_0 < 0 \end{cases}$

Подставим в систему найденные выражения для $x_0$ и $y_0$:

$\begin{cases} \frac{10 - b}{6} > 0 \\ \frac{20 + b}{3} < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство относительно $b$.

1. Решаем первое неравенство:

$\frac{10 - b}{6} > 0$

Так как знаменатель 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется при умножении обеих частей на 6:

$10 - b > 0$

$10 > b$, или $b < 10$

2. Решаем второе неравенство:

$\frac{20 + b}{3} < 0$

Так как знаменатель 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется при умножении обеих частей на 3:

$20 + b < 0$

$b < -20$

Для того чтобы точка пересечения находилась в четвёртой четверти, оба условия должны выполняться одновременно: $b < 10$ и $b < -20$.

Пересечением этих двух условий является интервал $b < -20$, так как если число меньше -20, оно автоматически меньше 10.

Ответ: $b \in (-\infty; -20)$.

9 Сколько решений может иметь система уравнений $\begin{cases} y = 1 - x^2, \\ y = x^2 + c \end{cases}$?

Укажите значения c, при которых система имеет одно решение; не имеет решений.

Для определения количества решений системы уравнений, мы можем решить ее аналитически или графически. Решим аналитически, приравняв выражения для $y$ из обоих уравнений:

$1 - x^2 = x^2 + c$

Теперь соберем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а постоянные члены — в другой:

$1 - c = x^2 + x^2$

$1 - c = 2x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1 - c}{2}$

Количество решений этого уравнения (и, соответственно, исходной системы) зависит от знака выражения в правой части.

• Если $\frac{1 - c}{2} > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня для $x$, и система имеет два решения.
• Если $\frac{1 - c}{2} = 0$, то уравнение имеет один корень $x=0$, и система имеет одно решение.
• Если $\frac{1 - c}{2} < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет решений (0 решений).

Таким образом, система уравнений может иметь 0, 1 или 2 решения.

система имеет одно решение

Система имеет одно решение, если уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ имеет ровно один корень. Это происходит, когда правая часть уравнения равна нулю.

$\frac{1 - c}{2} = 0$

$1 - c = 0$

$c = 1$

При $c = 1$ система имеет одно решение. Графически это означает, что две параболы $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 + 1$ касаются в одной точке — своей общей вершине $(0, 1)$.

Ответ: при $c = 1$.

не имеет решений

Система не имеет решений, если уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть уравнения отрицательна, так как квадрат действительного числа не может быть меньше нуля.

$\frac{1 - c}{2} < 0$

Умножим обе части на 2:

$1 - c < 0$

$1 < c$, или $c > 1$

При $c > 1$ система не имеет решений. Графически это означает, что вершина параболы $y = x^2 + c$ находится выше вершины параболы $y = 1 - x^2$, и графики не пересекаются.

Ответ: при $c > 1$.

Дана система уравнений с переменными $x$ и $y$: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| + a. \end{cases}$

1) С помощью графиков установите, сколько решений может иметь эта система.

2) Найдите значения $a$, при которых система имеет два решения; три решения.

1)

Для определения возможного количества решений системы рассмотрим графики уравнений в координатной плоскости $xOy$.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$.

Второе уравнение $y = |x| + a$ задает семейство графиков, получаемых из графика функции $y=|x|$ (который представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями $y=x$ при $x \geq 0$ и $y=-x$ при $x < 0$) путем сдвига вдоль оси $Oy$ на $a$ единиц. Вершина "галочки" $y=|x|+a$ находится в точке $(0, a)$.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и "галочки". Проанализируем это количество в зависимости от значения параметра $a$, перемещая "галочку" вдоль оси $y$.

• При $a > 1$ вершина "галочки" $(0, a)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 1)$. Графики не пересекаются. 0 решений.
• При $a = 1$ вершина "галочки" касается окружности в ее верхней точке $(0, 1)$. 1 решение.
• При $-1 < a < 1$ вершина "галочки" находится внутри окружности, и ее ветви пересекают окружность в двух точках. 2 решения.
• При $a = -1$ вершина "галочки" совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Ветви пересекают окружность еще в двух точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. 3 решения.
• При $-\sqrt{2} < a < -1$ вершина "галочки" находится ниже нижней точки окружности, и каждая из двух ветвей пересекает окружность в двух точках. 4 решения.
• При $a = -\sqrt{2}$ ветви "галочки" касаются окружности в двух точках. Это значение получается из условия, что расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямых $y=x+a$ и $y=-x+a$ равно радиусу 1: $\frac{|a|}{\sqrt{2}}=1 \implies a=-\sqrt{2}$ (так как касание происходит снизу). 2 решения.
• При $a < -\sqrt{2}$ "галочка" полностью находится под окружностью. Графики не пересекаются. 0 решений.

Таким образом, в зависимости от значения параметра $a$, система может иметь ноль, одно, два, три или четыре решения.

Ответ: Система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

2)

На основе анализа, проведенного в пункте 1), найдем значения параметра $a$, при которых система имеет два или три решения.

Система имеет два решения в двух случаях:

1. Когда "галочка" пересекает окружность в двух точках. Это происходит при $-1 < a < 1$.
2. Когда ветви "галочки" касаются окружности. Это происходит при $a = -\sqrt{2}$.

Система имеет три решения в одном случае:

• Когда вершина "галочки" совпадает с нижней точкой окружности. Это происходит при $a = -1$.

Ответ: система имеет два решения при $a \in (-1, 1) \cup \{-\sqrt{2}\}$; три решения при $a = -1$.

11 При каких значениях параметра $c$ прямая $x + y = c$:

Для решения данной задачи мы можем использовать как алгебраический, так и геометрический подход. Геометрический подход, основанный на анализе расстояния от центра окружности до прямой, является более наглядным.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2$ задает окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$, где $R^2 = 2$, следовательно, $R = \sqrt{2}$.

Уравнение прямой $x + y = c$ можно представить в общем виде как $x + y - c = 0$.

Расстояние $d$ от центра окружности $O(x_0, y_0) = (0, 0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ (где $A=1, B=1, C=-c$) вычисляется по формуле:

$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$

Теперь, зная радиус окружности и расстояние от ее центра до прямой, мы можем определить условия их касания и пересечения.

Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу, то есть $d = R$. В этом случае прямая и окружность имеют ровно одну общую точку.

Составим уравнение, приравняв найденное расстояние $d$ к радиусу $R$:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Решим это уравнение относительно параметра $c$:

$|c| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|c| = 2$

Данное уравнение имеет два решения: $c = 2$ и $c = -2$.

Ответ: $c = \pm 2$.

Прямая пересекает окружность, если она является секущей, то есть имеет с окружностью две различные общие точки. Это условие выполняется, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то есть $d < R$.

Составим соответствующее неравенство:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2}$

Решим это неравенство относительно параметра $c$:

$|c| < 2$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 < c < 2$.

Ответ: $c \in (-2, 2)$.