Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

323 Запишите уравнение вида $f(x) = 0$, графическое решение которого приведено на рисунке 3.21. Выясните, сколько корней имеет уравнение. Найдите корни. Есть ли среди них точные?

a) Уравнение: $x^3 - 6x - 4 = 0$

Количество корней: 3

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 \approx -0.6$, $x_3 \approx 2.6$

Точный корень: $x = -2$

б) Уравнение: $x^3 - 3x + 2 = 0$

Количество корней: 2 (один из них - двойной)

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$ (двойной корень)

Точные корни: $x = -2$, $x = 1$

Рис. 3.21

а) На рисунке а представлен график функции $y = x^3 - 6x - 4$. Чтобы найти корни уравнения $f(x) = 0$, нам нужно решить уравнение $x^3 - 6x - 4 = 0$. Корнями этого уравнения являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью x).
Из графика видно, что он пересекает ось x в трех точках. Следовательно, уравнение имеет три корня.
Один из корней, судя по графику, является целым числом $x = -2$. Проверим это, подставив значение в уравнение:
$(-2)^3 - 6(-2) - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$.
Равенство верное, значит $x_1 = -2$ — точный корень уравнения.
Для нахождения остальных корней разделим многочлен $x^3 - 6x - 4$ на двучлен $(x + 2)$.
$(x^3 - 6x - 4) : (x + 2) = x^2 - 2x - 2$.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ и $x_3 = 1 + \sqrt{3}$. Эти корни являются иррациональными.
Итак, уравнение имеет три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0.732$, $x_3 = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$. Среди них есть один точный корень.
Ответ: уравнение $x^3 - 6x - 4 = 0$ имеет три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1 - \sqrt{3}$, $x_3 = 1 + \sqrt{3}$. Точный корень один: $x = -2$.

б) На рисунке б представлен график функции $y = x^3 - 3x + 2$. Решаем уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$.
Из графика видно, что он пересекает ось x в одной точке и касается ее в другой. Это означает, что уравнение имеет два различных корня, один из которых является корнем кратности 2.
Из графика видно, что корни являются целыми числами: $x = -2$ (точка пересечения) и $x = 1$ (точка касания). Проверим их:
Для $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$.
Для $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
Оба значения являются корнями уравнения. Поскольку в точке $x = 1$ график касается оси, это корень второй кратности. Уравнение можно представить в виде:
$(x - 1)^2 (x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2$.
Уравнение имеет два различных корня. Оба корня являются точными (целочисленными).
Ответ: уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$ имеет два различных корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Оба корня точные.

324 Запишите уравнение вида $f(x) = g(x)$, графическое решение которого приведено на рисунке 3.22. Найдите корни уравнения.

а

$y = x^3$

$y = \frac{1}{x}$

б

$y = x^2$

$y = \frac{1}{2}x + 3$

Рис. 3.22

а) На рисунке изображены графики функций $f(x) = x^3$ и $g(x) = \frac{1}{x}$. Чтобы записать уравнение вида $f(x) = g(x)$, нужно приравнять правые части выражений для этих функций. Таким образом, искомое уравнение имеет вид: $x^3 = \frac{1}{x}$.

Корнями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков. Из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках. Первая точка пересечения имеет координаты $(1; 1)$, следовательно, один из корней уравнения $x_1 = 1$. Вторая точка пересечения имеет координаты $(-1; -1)$, значит, второй корень уравнения $x_2 = -1$.

Ответ: Уравнение: $x^3 = \frac{1}{x}$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

б) На данном рисунке представлены графики функций $f(x) = x^2$ (парабола) и $g(x) = \frac{1}{2}x + 3$ (прямая). Приравнивая правые части этих функций, получаем уравнение вида $f(x) = g(x)$: $x^2 = \frac{1}{2}x + 3$.

Корни этого уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков. На графике видно две точки пересечения. Абсцисса первой точки равна $x_1 = 2$. Выполним проверку: для $f(x)$ имеем $2^2 = 4$; для $g(x)$ имеем $\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Абсцисса второй точки равна $x_2 = -1.5$ (или $-\frac{3}{2}$). Проверим: для $f(x)$ имеем $(-1.5)^2 = 2.25$; для $g(x)$ имеем $\frac{1}{2} \cdot (-1.5) + 3 = -0.75 + 3 = 2.25$. Так как значения $y$ в точках пересечения совпадают, корни найдены верно.

Ответ: Уравнение: $x^2 = \frac{1}{2}x + 3$. Корни: $x_1 = -1.5$, $x_2 = 2$.

325 Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$ пересекаются в точке (4; 2).

Сделайте схематический чертёж, иллюстрирующий этот факт.

Назовите:

1) решение системы уравнений $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 2x - 6; \end{cases} $

2) корень уравнения $ \sqrt{x} = 2x - 6. $

В задаче даны две функции, $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$, и сказано, что их графики пересекаются в точке $(4; 2)$.

Сначала сделаем схематический чертёж. Для этого нам нужно понимать, как выглядят графики обеих функций.

• График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0; 0)$ и идущая вправо и вверх. Она проходит через точки, где $x$ является полным квадратом, например: $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.
• График функции $y = 2x - 6$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x=3$, то $y=2(3)-6=0$, получаем точку $(3; 0)$. Если $x=5$, то $y=2(5)-6=4$, получаем точку $(5; 4)$.

Проверим, действительно ли точка $(4; 2)$ является точкой пересечения:

• Подставим в первое уравнение: $2 = \sqrt{4}$, что является верным равенством ($2=2$).
• Подставим во второе уравнение: $2 = 2(4) - 6$, что также является верным равенством ($2 = 8 - 6 \Rightarrow 2=2$).

Точка $(4; 2)$ принадлежит обоим графикам, следовательно, она является их точкой пересечения.

Схематический чертёж, иллюстрирующий этот факт:

Теперь ответим на вопросы, основываясь на этой информации.

1) решение системы уравнений $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 2x - 6; \end{cases}$

Решением системы уравнений называется пара чисел $(x; y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям системы. Геометрически, решение системы — это координаты точки пересечения графиков уравнений.
Как указано в условии и показано на графике, точка пересечения имеет координаты $(4; 2)$. Это означает, что при $x = 4$ и $y = 2$ оба равенства в системе становятся верными.
Ответ: $(4; 2)$.

2) корень уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором равенство является верным.
Данное уравнение получается, если приравнять правые части уравнений системы $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x - 6$. Следовательно, корень этого уравнения — это абсцисса (координата $x$) точки пересечения графиков этих функций.
Поскольку точка пересечения — это $(4; 2)$, то её абсцисса равна 4. Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения.
Выполним проверку, подставив $x=4$ в уравнение:
$\sqrt{4} = 2(4) - 6$
$2 = 8 - 6$
$2 = 2$
Равенство верное, что подтверждает наш вывод.
Ответ: 4.

326 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение, и найдите эти корни:

а) $x^2 = 1,5x + 1$;

б) $x^3 = 2 - x$;

в) $x^2 - 1 = \frac{8}{x}$.

а) $x^2 = 1.5x + 1$

Чтобы решить уравнение графически, представим его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 1.5x + 1$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $y = x^2$.
Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх. Составим таблицу значений:

• при $x = -2$, $y = 4$
• при $x = -1$, $y = 1$
• при $x = -0.5$, $y = 0.25$
• при $x = 0$, $y = 0$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 4$

2. Построение графика функции $y = 1.5x + 1$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 1.5 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• при $x = 2$, $y = 1.5 \cdot 2 + 1 = 3 + 1 = 4$. Точка $(2; 4)$.

3. Нахождение точек пересечения.
Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках. Из графика и таблицы значений видно, что одна точка пересечения имеет координаты $(2; 4)$. Проверим вторую предполагаемую точку с абсциссой $x = -0.5$:
Для параболы: $y = (-0.5)^2 = 0.25$.
Для прямой: $y = 1.5 \cdot (-0.5) + 1 = -0.75 + 1 = 0.25$.
Координаты второй точки пересечения $(-0.5; 0.25)$.

Таким образом, уравнение имеет два корня, которые равны абсциссам точек пересечения графиков.

Ответ: уравнение имеет два корня: $x_1 = -0.5$, $x_2 = 2$.

б) $x^3 = 2 - x$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 2 - x$. Абсциссы точек их пересечения будут являться корнями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = x^3$.
Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Составим таблицу значений:

• при $x = -2$, $y = -8$
• при $x = -1$, $y = -1$
• при $x = 0$, $y = 0$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 8$

2. Построение графика функции $y = 2 - x$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• при $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

3. Нахождение точек пересечения.
Построим графики. Функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, а функция $y=2-x$ — убывающей. Следовательно, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Из графиков и таблиц значений видно, что точка пересечения имеет координаты $(1; 1)$.

Проверим подстановкой: $1^3 = 1$ и $2 - 1 = 1$. Равенство верное. Значит, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: уравнение имеет один корень: $x = 1$.

в) $x^2 - 1 = \frac{8}{x}$

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 - 1$ и $y = \frac{8}{x}$. Заметим, что область определения уравнения — все числа, кроме $x=0$.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 1$.
Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$.

• при $x = -2$, $y = 3$
• при $x = -1$, $y = 0$
• при $x = 0$, $y = -1$
• при $x = 1$, $y = 0$
• при $x = 2$, $y = 3$
• при $x = 3$, $y = 8$

2. Построение графика функции $y = \frac{8}{x}$.
Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

• при $x = 1$, $y = 8$
• при $x = 2$, $y = 4$
• при $x = 4$, $y = 2$
• при $x = -2$, $y = -4$
• при $x = -4$, $y = -2$

3. Нахождение точек пересечения.
Построим графики. При $x > 0$ парабола возрастает, а гипербола убывает, значит, они пересекаются в одной точке. При $x < 0$ график параболы лежит выше графика гиперболы, точек пересечения нет. Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения, которая находится в первой координатной четверти.

Из графика видно, что абсцисса точки пересечения находится между $x=2$ и $x=3$. При $x=2$ значение параболы $y=3$, а гиперболы $y=4$. При $x \approx 2.2$ значение параболы $y \approx 2.2^2 - 1 = 3.84$, а гиперболы $y = 8/2.2 \approx 3.64$. Так как точное значение корня по графику найти сложно, мы можем указать лишь его приблизительное значение.

Ответ: уравнение имеет один корень: $x \approx 2.2$.

327 Найдите с помощью графиков приближённые значения корней уравнений:

1) $x^2 - x - 3 = 0$;

2) $x^2 + 2x - 2 = 0$;

3) $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$;

4) $3 - x - 3x^2 = 0$.

Совет. Выполните задание экономно, с минимальным количеством построений. Для этого представьте каждое уравнение в виде $x^2 = ax + b$ и постройте в одной системе координат параболу $y = x^2$ и четыре прямые. (Воспользуйтесь миллиметровой бумагой.)

Для нахождения приближенных значений корней уравнений воспользуемся советом из задачи. Мы преобразуем каждое уравнение к виду $x^2 = ax + b$. Затем в одной системе координат построим график параболы $y = x^2$ и графики соответствующих линейных функций $y = ax + b$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения параболы и прямых будут являться приближенными корнями исходных уравнений.

1) $x^2 - x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = x + 3$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 3$.

График $y = x^2$ — это стандартная парабола, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$ и т.д.

График $y = x + 3$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• при $x=-1$, $y = -1 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Приблизительные значения корней, найденные по графику: $x_1 \approx -1.3$ и $x_2 \approx 2.3$.

Ответ: $x_1 \approx -1.3$, $x_2 \approx 2.3$.

2) $x^2 + 2x - 2 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = -2x + 2$

Ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2x + 2$.

Для построения прямой $y = -2x + 2$ найдем две точки:

• при $x=0$, $y = -2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x=1$, $y = -2(1) + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Из графика находим, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $x_1 \approx -2.7$ и $x_2 \approx 0.7$.

Ответ: $x_1 \approx -2.7$, $x_2 \approx 0.7$.

3) $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$

Для удобства сначала умножим все члены уравнения на 2, чтобы коэффициент при $x^2$ стал равен 1:

$x^2 - 2x - 2 = 0$

Теперь преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = 2x + 2$

Ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 2$.

Для построения прямой $y = 2x + 2$ найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x=-1$, $y = 2(-1) + 2 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Из графика находим, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $x_1 \approx -0.7$ и $x_2 \approx 2.7$.

Ответ: $x_1 \approx -0.7$, $x_2 \approx 2.7$.

4) $3 - x - 3x^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-3x^2 - x + 3 = 0$.

Умножим все члены на -1: $3x^2 + x - 3 = 0$.

Разделим уравнение на 3, чтобы получить $x^2$ с коэффициентом 1:

$x^2 + \frac{1}{3}x - 1 = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$x^2 = -\frac{1}{3}x + 1$

Ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$.

Для построения прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$ найдем две точки:

• при $x=0$, $y = -\frac{1}{3}(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x=3$, $y = -\frac{1}{3}(3) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Из графика находим, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $x_1 \approx -1.2$ и $x_2 \approx 0.9$.

Ответ: $x_1 \approx -1.2$, $x_2 \approx 0.9$.

328 Решите графически уравнения:

1) $x^3 - 2x - 4 = 0$;

2) $x^3 - 2x + 4 = 0$;

3) $x^3 + 2x - 4 = 0$.

Есть ли среди корней точные?

Для графического решения уравнений необходимо представить их в виде равенства двух функций, например, $f(x) = g(x)$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций. Для всех трех уравнений удобно использовать представление $x^3 = kx + b$. Таким образом, мы будем искать точки пересечения кубической параболы $y = x^3$ и прямой $y = kx + b$.

Сначала построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Составим для нее таблицу значений:

1) $x^3 - 2x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = 2x + 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=2x+4$.

График $y=2x+4$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=2(0)+4=4$. Точка (0; 4).
- при $x=-2$, $y=2(-2)+4=0$. Точка (-2; 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения примерно равна 2. Проверим, является ли $x=2$ точным решением. Для этого найдем значения $y$ для обеих функций при $x=2$:
$y=x^3=2^3=8$
$y=2x+4=2(2)+4=8$
Значения совпадают, следовательно, точка (2; 8) является точкой пересечения графиков, а $x=2$ — корень уравнения.

Ответ: $x=2$.

2) $x^3 - 2x + 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = 2x - 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=2x-4$.

График $y=2x-4$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=2(0)-4=-4$. Точка (0; -4).
- при $x=2$, $y=2(2)-4=0$. Точка (2; 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения примерно равна -2. Проверим, является ли $x=-2$ точным решением. Для этого найдем значения $y$ для обеих функций при $x=-2$:
$y=x^3=(-2)^3=-8$
$y=2x-4=2(-2)-4=-8$
Значения совпадают, следовательно, точка (-2; -8) является точкой пересечения графиков, а $x=-2$ — корень уравнения.

Ответ: $x=-2$.

3) $x^3 + 2x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = -2x + 4$. Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=-2x+4$.

График $y=-2x+4$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:
- при $x=0$, $y=-2(0)+4=4$. Точка (0; 4).
- при $x=2$, $y=-2(2)+4=0$. Точка (2; 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке, абсцисса которой находится в интервале $(1; 2)$. Проверим, есть ли среди целых чисел точный корень:
При $x=1$: $1^3 + 2(1) - 4 = -1 \neq 0$.
При $x=2$: $2^3 + 2(2) - 4 = 8 \neq 0$.
Целочисленного корня нет. Функция $f(x)=x^3+2x-4$ является строго возрастающей на всей числовой оси (ее производная $f'(x)=3x^2+2$ всегда положительна), поэтому уравнение имеет только один действительный корень. Из графика можно определить лишь его приближенное значение.

Ответ: $x \approx 1.2$.

Есть ли среди корней точные?

Да, среди найденных корней есть точные (целочисленные). Для первого уравнения это корень $x=2$, а для второго — $x=-2$. Корень третьего уравнения не является целым или рациональным числом, поэтому графическим методом его можно найти только приближенно.

Ответ: Да, есть: $x=2$ и $x=-2$.