Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

304 1) Постройте в одной системе координат прямую, которую образуют биссектрисы I и III координатных четвертей, и окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 3. Найдите по рисунку приближённо координаты точек их пересечения.

2) Вычислите точные координаты точек пересечения, составив и решив систему уравнений.

3) Укажите точные и приближённые координаты точек пересечения этой же окружности с прямой, образованной биссектрисами II и IV координатных четвертей.

1) Постройте в одной системе координат прямую, которую образуют биссектрисы I и III координатных четвертей, и окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 3. Найдите по рисунку приближённо координаты точек их пересечения.

Прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей, задается уравнением $y = x$. Это означает, что для любой точки на этой прямой абсцисса (координата $x$) равна ординате (координата $y$).

Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$ задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$. Согласно условию, радиус $R = 3$, следовательно, уравнение нашей окружности: $x^2 + y^2 = 3^2$, или $x^2 + y^2 = 9$.

Для построения графика начертим систему координат. Окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом 3 будет проходить через точки $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Прямая $y=x$ пройдет через начало координат $(0,0)$ и, например, точки $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(-1, -1)$ и $(-2, -2)$.

На графике видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках: одна в I четверти (где $x > 0, y > 0$) и другая в III четверти (где $x < 0, y < 0$). Визуально оценивая их положение, можно сказать, что координаты этих точек приблизительно $(2,1; 2,1)$ и $(-2,1; -2,1)$.

Ответ: Приближённые координаты точек пересечения: $(2,1; 2,1)$ и $(-2,1; -2,1)$.

2) Вычислите точные координаты точек пересечения, составив и решив систему уравнений.

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений, описывающих данную прямую и окружность:

$\begin{cases} y = x \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (x)^2 = 9$

$2x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{2}$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $y = x$, то значения $y$ будут такими же, как и соответствующие значения $x$. Таким образом, мы получаем две точки пересечения.

Ответ: Точные координаты точек пересечения: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$.

3) Укажите точные и приближённые координаты точек пересечения этой же окружности с прямой, образованной биссектрисами II и IV координатных четвертей.

Прямая, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей, задается уравнением $y = -x$. Окружность остается прежней: $x^2 + y^2 = 9$.

Составим и решим систему уравнений для нахождения точных координат:

$\begin{cases} y = -x \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$

Подставим $y = -x$ в уравнение окружности:

$x^2 + (-x)^2 = 9$

$x^2 + x^2 = 9$

$2x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{2}$

$x = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x$:

Если $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Это точка в IV четверти.

Если $x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = -(-\frac{3\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Это точка во II четверти.

Точные координаты точек пересечения: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

Для нахождения приближённых координат, используем значение $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{3 \times 1,414}{2} = \frac{4,242}{2} = 2,121 \approx 2,12$.

Таким образом, приближённые координаты: $(2,12; -2,12)$ и $(-2,12; 2,12)$.

Ответ: Точные координаты: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$. Приближённые координаты: $(2,12; -2,12)$ и $(-2,12; 2,12)$.

305 Прямая, угловой коэффициент которой равен $0,5$, проходит через точку $P(10; 2)$.

1) Запишите уравнение прямой.

2) Найдите координаты точек её пересечения с осью $x$ и с осью $y$.

3) Постройте эту прямую в координатной плоскости.

1) Запишите уравнение прямой.

Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (координата пересечения прямой с осью y).

По условию задачи, угловой коэффициент $k = 0,5$. Следовательно, уравнение прямой принимает вид: $y = 0,5x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, воспользуемся тем, что прямая проходит через точку $P(10; 2)$. Подставим координаты этой точки ($x=10$, $y=2$) в уравнение прямой:

$2 = 0,5 \cdot 10 + b$

$2 = 5 + b$

Отсюда находим $b$:

$b = 2 - 5 = -3$

Теперь, когда известны оба коэффициента ($k=0,5$ и $b=-3$), мы можем записать итоговое уравнение прямой.

Ответ: $y = 0,5x - 3$.

2) Найдите координаты точек её пересечения с осью x и с осью y.

Для нахождения точек пересечения прямой с осями координат используем полученное уравнение $y = 0,5x - 3$.

Пересечение с осью y (осью ординат):
Точка пересечения с осью y всегда имеет координату $x = 0$. Подставим это значение в наше уравнение:
$y = 0,5 \cdot 0 - 3$
$y = -3$
Таким образом, координаты точки пересечения с осью y: $(0; -3)$.

Пересечение с осью x (осью абсцисс):
Точка пересечения с осью x всегда имеет координату $y = 0$. Подставим это значение в наше уравнение:
$0 = 0,5x - 3$
Перенесем 3 в левую часть:
$0,5x = 3$
Найдем $x$:
$x = \frac{3}{0,5} = 6$
Таким образом, координаты точки пересечения с осью x: $(6; 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью x: $(6; 0)$. Точка пересечения с осью y: $(0; -3)$.

3) Постройте эту прямую в координатной плоскости.

Для построения прямой в координатной плоскости достаточно двух точек. Мы уже определили координаты двух таких точек — это точки пересечения с осями: $(0; -3)$ и $(6; 0)$.

Чтобы построить график, необходимо:
1. Начертить оси координат x и y.
2. Отметить на плоскости точку пересечения с осью y $(0; -3)$ и точку пересечения с осью x $(6; 0)$.
3. Провести через эти две точки прямую линию.

Полученная прямая является графиком функции $y = 0,5x - 3$. В качестве проверки можно убедиться, что она также проходит через исходную точку $P(10; 2)$.

Ниже представлен график данной прямой.

Ответ: График прямой $y = 0,5x - 3$ построен на основе точек пересечения с осями координат $(0; -3)$ и $(6; 0)$ и показан на рисунке.

306 На рисунке 3.15 указаны координаты двух точек прямой MN.

1) Запишите уравнение этой прямой, составив и решив систему уравнений.

2) Найдите координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и с осью $y$.

$M (-6; -5)$

$N (6; -1)$

Puc. 3.15

1) Запишите уравнение этой прямой, составив и решив систему уравнений.

Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$.

Так как точки $M(-6; -5)$ и $N(6; -1)$ принадлежат этой прямой, их координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставим координаты этих точек в общее уравнение, чтобы составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными $k$ и $b$.

Для точки $M(-6; -5)$: $-5 = k \cdot (-6) + b$

Для точки $N(6; -1)$: $-1 = k \cdot 6 + b$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} -6k + b = -5 \\ 6k + b = -1 \end{cases} $$

Решим эту систему. Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $k$:

$(-6k + b) + (6k + b) = -5 + (-1)$

$2b = -6$

$b = -3$

Теперь подставим найденное значение $b = -3$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$6k + (-3) = -1$

$6k = -1 + 3$

$6k = 2$

$k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Зная коэффициенты $k = \frac{1}{3}$ и $b = -3$, записываем уравнение прямой:

$y = \frac{1}{3}x - 3$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 3$.

2) Найдите координаты точек пересечения прямой с осью x и с осью y.

Чтобы найти точку пересечения прямой с осью абсцисс (осью $x$), необходимо в уравнение прямой подставить $y = 0$ и найти соответствующее значение $x$:

$0 = \frac{1}{3}x - 3$

$\frac{1}{3}x = 3$

$x = 3 \cdot 3$

$x = 9$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью $x$ равны $(9; 0)$.

Чтобы найти точку пересечения прямой с осью ординат (осью $y$), необходимо в уравнение прямой подставить $x = 0$ и найти соответствующее значение $y$:

$y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 3$

$y = 0 - 3$

$y = -3$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью $y$ равны $(0; -3)$.

Ответ: точка пересечения с осью $x$: $(9; 0)$; точка пересечения с осью $y$: $(0; -3)$.

307 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $M (0; 1)$, $N (1; 0)$ и $K (3; 10)$. Задайте эту параболу уравнением и постройте её.

Задание уравнения параболы

Общее уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Поскольку парабола проходит через точки $M(0; 1)$, $N(1; 0)$ и $K(3; 10)$, их координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

1. Для точки $M(0; 1)$: подставляем $x=0$, $y=1$.
$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 1$.

2. Для точки $N(1; 0)$: подставляем $x=1$, $y=0$.
$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = 0$.

3. Для точки $K(3; 10)$: подставляем $x=3$, $y=10$.
$10 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c \implies 9a + 3b + c = 10$.

Мы получили систему из трех уравнений: $$ \begin{cases} c = 1 \\ a + b + c = 0 \\ 9a + 3b + c = 10 \end{cases} $$

Сразу известно, что $c=1$. Подставим это значение во второе и третье уравнения: $$ \begin{cases} a + b + 1 = 0 \\ 9a + 3b + 1 = 10 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a + b = -1 \\ 9a + 3b = 9 \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на 3: $$ \begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + b = 3 \end{cases} $$

Теперь вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:
$(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1)$
$2a = 4$
$a = 2$.

Подставим найденное значение $a=2$ в уравнение $a + b = -1$, чтобы найти $b$:
$2 + b = -1$
$b = -3$.

Таким образом, коэффициенты параболы: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.

Ответ: Уравнение параболы: $y = 2x^2 - 3x + 1$.

Построение параболы

Для построения графика параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ найдем ее ключевые характеристики.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находим по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} = -0.125$.
Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{3}{4}$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$):
$y = 2(0)^2 - 3(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0; 1)$, что совпадает с точкой $M$.
С осью OX (при $y=0$):
Решаем уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Точки пересечения — $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(1; 0)$ (точка $N$).

4. Построение. На координатной плоскости отметим найденные точки: вершину $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$, точки пересечения с осями $(0; 1)$, $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 0)$, а также заданную точку $K(3; 10)$. Соединяем эти точки плавной кривой, симметричной относительно прямой $x = \frac{3}{4}$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3x + 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$, пересекающая ось ординат в точке $(0; 1)$, а ось абсцисс в точках $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(1; 0)$.

308 Составьте уравнение параболы (рис. 3.16, а, б) и вычислите координаты точек её пересечения с осью x.

Рис. 3.16

а)

Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ задается формулой $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Из графика на рисунке 3.16, а, мы видим, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, -8)$. Подставив эти значения в формулу, получим: $y = a(x - (-1))^2 - 8$, что упрощается до $y = a(x + 1)^2 - 8$.

Чтобы найти коэффициент $a$, используем другую точку, через которую проходит парабола. Из графика видно, что это точка с координатами $(0, -6)$. Подставим $x=0$ и $y=-6$ в наше уравнение:
$-6 = a(0 + 1)^2 - 8$
$-6 = a \cdot 1 - 8$
$-6 = a - 8$
$a = 8 - 6 = 2$

Таким образом, уравнение параболы в вершинной форме: $y = 2(x + 1)^2 - 8$. Для получения стандартного вида $y = ax^2 + bx + c$ раскроем скобки:
$y = 2(x^2 + 2x + 1) - 8$
$y = 2x^2 + 4x + 2 - 8$
$y = 2x^2 + 4x - 6$

Теперь вычислим координаты точек пересечения параболы с осью $x$. В этих точках $y = 0$.
$2x^2 + 4x - 6 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, парабола пересекает ось $x$ в точках с координатами $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: уравнение параболы $y = 2x^2 + 4x - 6$; точки пересечения с осью $x$: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

б)

Используем тот же подход, что и в пункте а). Вершина параболы, изображенной на рисунке 3.16, б, находится в точке $(3, 4)$. Подставляем координаты вершины в формулу $y = a(x - x_v)^2 + y_v$:
$y = a(x - 3)^2 + 4$.

Для определения коэффициента $a$ возьмем другую точку на параболе, например, точку пересечения с осью $y$, которая имеет координаты $(0, -5)$. Подставим их в уравнение:
$-5 = a(0 - 3)^2 + 4$
$-5 = a \cdot (-3)^2 + 4$
$-5 = 9a + 4$
$9a = -5 - 4$
$9a = -9$
$a = -1$

Итак, уравнение параболы имеет вид: $y = -(x - 3)^2 + 4$. Приведем его к стандартному виду, раскрыв скобки:
$y = -(x^2 - 6x + 9) + 4$
$y = -x^2 + 6x - 9 + 4$
$y = -x^2 + 6x - 5$

Для нахождения точек пересечения с осью $x$, приравняем $y$ к нулю:
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Таким образом, координаты точек пересечения с осью $x$: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: уравнение параболы $y = -x^2 + 6x - 5$; точки пересечения с осью $x$: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

309 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $A (0; 3)$, $B (-1; 0)$ и $C (1; 4)$.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку $M (4; -5)$; через точку $N (-4; -5)$.

2) Найдите координаты её вершины.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку M (4; –5); через точку N (–4; –5).

Чтобы найти уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, воспользуемся тем, что она проходит через три заданные точки: A (0; 3), B (–1; 0) и C (1; 4). Подставим координаты этих точек в уравнение параболы, чтобы составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Для точки A (0; 3):
$3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 3$.

Для точки B (–1; 0):
$0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies a - b + c = 0$.

Для точки C (1; 4):
$4 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = 4$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} c = 3 \\ a - b + c = 0 \\ a + b + c = 4 \end{cases}$

Подставим значение $c = 3$ во второе и третье уравнения:
$\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ a + b + 3 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a - b = -3 \\ a + b = 1 \end{cases}$

Теперь решим систему двух уравнений. Сложим их:
$(a - b) + (a + b) = -3 + 1$
$2a = -2$
$a = -1$

Подставим найденное значение $a = -1$ в уравнение $a + b = 1$:
$-1 + b = 1 \implies b = 2$.

Итак, уравнение параболы имеет вид: $y = -x^2 + 2x + 3$.

Теперь проверим, проходят ли точки M (4; –5) и N (–4; –5) через эту параболу.

Для точки M (4; –5): подставим $x = 4$ в уравнение.
$y = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5$.
Полученное значение $y = -5$ совпадает с ординатой точки M, значит, парабола проходит через точку M.

Для точки N (–4; –5): подставим $x = -4$ в уравнение.
$y = -(-4)^2 + 2(-4) + 3 = -16 - 8 + 3 = -21$.
Полученное значение $y = -21$ не равно ординате точки N (–5), значит, парабола не проходит через точку N.

Ответ: парабола проходит через точку M (4; –5) и не проходит через точку N (–4; –5).

2) Найдите координаты её вершины.

Уравнение нашей параболы $y = -x^2 + 2x + 3$. Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$ можно найти по формулам.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
Для нашего уравнения $a = -1$ и $b = 2$.
$x_в = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Ординату вершины $y_в$ найдем, подставив значение $x_в = 1$ в уравнение параболы:
$y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Таким образом, координаты вершины параболы — (1; 4).

Ответ: (1; 4).

310ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + b \end{cases}$, где $b$ — произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Проиллюстрируйте каждый случай с помощью схематического рисунка и подберите для него конкретную систему.

2) Сколько решений может иметь указанная система, если известно, что:

а) $b$ — произвольное положительное число;

б) $b$ — произвольное отрицательное число?

Для решения этой задачи мы будем использовать графический метод. Первое уравнение системы, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение, $y = x^2 + b$, задает параболу с ветвями, направленными вверх. Вершина этой параболы находится в точке $(0, b)$. Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций. Изменяя параметр $b$, мы смещаем параболу по вертикали (вдоль оси $OY$), что приводит к изменению числа точек пересечения.

1) Проиллюстрируем все возможные случаи количества решений.

Случай 1: Нет решений (0 решений)
Это происходит, когда парабола расположена полностью над окружностью или полностью под ней. Поскольку ветви параболы направлены вверх, второй вариант невозможен. Парабола будет полностью над окружностью, если ее вершина $(0, b)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 2)$. Таким образом, это происходит при $b > 2$.
Пример системы для $b=3$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + 3 \end{cases} $$ Ответ: нет решений.

Случай 2: Одно решение
Это происходит, когда парабола касается окружности в одной точке. Такое возможно только в верхней точке окружности $(0, 2)$. Это произойдет, если вершина параболы совпадет с этой точкой, то есть при $b=2$.
Пример системы для $b=2$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + 2 \end{cases} $$ Ответ: одно решение.

Случай 3: Два решения
Этот случай возникает в двух ситуациях:
1. Когда вершина параболы находится внутри окружности, но выше ее центра, и парабола пересекает только верхнюю полуокружность. Это происходит при $0 \le b < 2$.
2. Когда парабола опускается достаточно низко и касается окружности в двух симметричных точках. Алгебраический анализ показывает, что это происходит при $b = -4.25$.
3. Когда вершина параболы находится между центром окружности и ее нижней точкой касания, но еще не достигает точки, где появляются четыре решения. Это происходит при $-2 < b < 0$.
Пример системы для $b=1$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + 1 \end{cases} $$ Ответ: два решения.

Случай 4: Три решения
Это особый случай, который происходит, когда вершина параболы касается окружности в ее нижней точке $(0, -2)$, а ветви параболы пересекают окружность еще в двух точках. Это происходит при $b=-2$.
Пример системы для $b=-2$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $$ Ответ: три решения.

Случай 5: Четыре решения
Это происходит, когда вершина параболы находится ниже нижней точки касания $(0, -2)$, но парабола еще не опустилась так низко, чтобы перестать пересекать окружность. В этом случае парабола пересекает и верхнюю, и нижнюю полуокружности. Алгебраически это соответствует условию $-4.25 < b < -2$.
Пример системы для $b=-2.5$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2.5 \end{cases} $$ Ответ: четыре решения.

2) Теперь рассмотрим частные случаи для параметра $b$.

а) $b$ — произвольное положительное число;
Если $b$ — положительное число ($b>0$), то возможны следующие ситуации, проанализированные в пункте 1:
• Если $0 < b < 2$, система имеет два решения.
• Если $b=2$, система имеет одно решение.
• Если $b > 2$, система не имеет решений.
Таким образом, если $b$ — произвольное положительное число, система может иметь ноль, одно или два решения.
Ответ: 0, 1 или 2 решения.

б) $b$ — произвольное отрицательное число?
Если $b$ — отрицательное число ($b<0$), то возможны следующие ситуации:
• Если $-2 < b < 0$, система имеет два решения.
• Если $b=-2$, система имеет три решения.
• Если $-4.25 < b < -2$, система имеет четыре решения.
• Если $b=-4.25$, система имеет два решения (случай касания).
• Если $b < -4.25$, система не имеет решений.
Таким образом, если $b$ — произвольное отрицательное число, система может иметь ноль, два, три или четыре решения.
Ответ: 0, 2, 3 или 4 решения.