Страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

285 Решите систему уравнений графически, пользуясь рисунком 3.12. Проверьте свой ответ, выполнив подстановку:

a) $ \begin{cases} x^2 - y = 8, \\ y + x = -2; \end{cases} $

$ x^2 - y = 8 $

$ y + x = -2 $

б) $ \begin{cases} xy = 12, \\ y + 6 = 2; \end{cases} $

$ xy = 12 $

$ y + 6 = 2 $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ x + y = 6. \end{cases} $

$ x + y = 6 $

$ x^2 + y^2 = 20 $

Puc. 3.12

а)

Рассмотрим систему уравнений:

Первое уравнение системы, которое можно представить в виде $y = x^2 - 8$, является графиком параболы с ветвями, направленными вверх. Второе уравнение, $y = -x - 2$, является графиком прямой. Решением системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

По рисунку 3.12 а) видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

Первая точка пересечения: $x = -3, y = 1$.

Вторая точка пересечения: $x = 2, y = -4$.

Проверим найденные решения, подставив их в оба уравнения системы.

Для точки $(-3, 1)$:

Оба равенства верны, значит, точка $(-3, 1)$ является решением.

Для точки $(2, -4)$:

Оба равенства верны, значит, точка $(2, -4)$ также является решением.

Ответ: $(-3, 1), (2, -4)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

Первое уравнение, $y = \frac{12}{x}$, задает гиперболу. Второе уравнение можно упростить до $y = 2 - 6$, то есть $y = -4$. Это уравнение задает горизонтальную прямую.

По рисунку 3.12 б) видно, что графики пересекаются в одной точке. Определим ее координаты: $x = -3, y = -4$.

Проверим найденное решение подстановкой.

Для точки $(-3, -4)$:

Оба равенства верны, следовательно, точка $(-3, -4)$ является решением системы.

Ответ: $(-3, -4)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 20$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20}$. Второе уравнение, $y = -x + 6$, задает прямую.

По рисунку 3.12 в) видно, что окружность и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику:

Первая точка пересечения: $x = 2, y = 4$.

Вторая точка пересечения: $x = 4, y = 2$.

Проверим найденные решения подстановкой.

Для точки $(2, 4)$:

Оба равенства верны, значит, точка $(2, 4)$ является решением.

Для точки $(4, 2)$:

Оба равенства верны, значит, точка $(4, 2)$ также является решением.

Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.

286 Пользуясь рисунком 3.13, составьте систему уравнений:

1) имеющую два решения;

$ x^2 - y = 2 $

$ x - y = 4 $

2) имеющую одно решение;

$ x^2 + y^2 = 4 $

$ y + 2x = 2 $

3) не имеющую решений.

$ xy = -12 $

$ 4y - 3x = 24 $

Рис. 3.13

Для решения задачи необходимо проанализировать каждую из трех пар уравнений, представленных на рисунках. Решением системы уравнений являются точки пересечения их графиков. Количество решений системы равно количеству точек пересечения.

1) имеющую два решения;

Рассмотрим систему уравнений, представленную на среднем рисунке: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + 2x = 2. \end{cases} $$ Первое уравнение задает окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $r=2$. Второе уравнение задает прямую. На графике видно, что прямая пересекает окружность в двух точках. Проверим это алгебраически.

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (2 - 2x)^2 = 4$
$x^2 + 4 - 8x + 4x^2 = 4$
$5x^2 - 8x = 0$
$x(5x - 8) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{8}{5} = 1.6$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 - 2 \cdot 0 = 2$.
При $x_2 = 1.6$, $y_2 = 2 - 2 \cdot 1.6 = 2 - 3.2 = -1.2$.
Таким образом, система имеет два решения: $(0; 2)$ и $(1.6; -1.2)$.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y + 2x = 2. \end{cases} $$

2) имеющую одно решение;

Рассмотрим систему уравнений, представленную на правом рисунке: $$ \begin{cases} xy = -12, \\ 4y - 3x = 24. \end{cases} $$ Первое уравнение задает гиперболу, а второе — прямую. Чтобы найти количество решений, решим систему.

Из первого уравнения выразим $y$ (при $x \neq 0$): $y = -\frac{12}{x}$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $4\left(-\frac{12}{x}\right) - 3x = 24$
$-\frac{48}{x} - 3x = 24$
Умножим обе части уравнения на $x$: $-48 - 3x^2 = 24x$
$3x^2 + 24x + 48 = 0$
Разделим уравнение на 3: $x^2 + 8x + 16 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x + 4)^2 = 0$.
Оно имеет единственный корень $x = -4$.
Найдем соответствующее значение $y$: $y = -\frac{12}{-4} = 3$.
Система имеет одно решение: $(-4; 3)$. Это означает, что прямая является касательной к гиперболе в этой точке.

Ответ: $$ \begin{cases} xy = -12, \\ 4y - 3x = 24. \end{cases} $$

3) не имеющую решений.

Рассмотрим систему уравнений, представленную на левом рисунке: $$ \begin{cases} x^2 - y = 2, \\ x - y = 4. \end{cases} $$ Первое уравнение $y = x^2 - 2$ задает параболу, второе $y = x - 4$ — прямую. Хотя на эскизе графика кажется, что пересечение есть, необходимо выполнить алгебраическую проверку.

Выразим $y$ из обоих уравнений и приравняем правые части: $y = x^2 - 2$
$y = x - 4$
$x^2 - 2 = x - 4$
$x^2 - x + 2 = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений, и графики не пересекаются.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 - y = 2, \\ x - y = 4. \end{cases} $$

287 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 0, \\ xy = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y + x^2 = 4, \\ y - x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 0, \\ y = 4x - x^2. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x - y = 0, \\ xy = 4; \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $x - y = 0 \implies y = x$.
Это уравнение прямой пропорциональности, её график — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, (0; 0) и (2; 2).

2. Преобразуем второе уравнение: $xy = 4 \implies y = \frac{4}{x}$ (при $x \ne 0$).
Это уравнение обратной пропорциональности, её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях (так как коэффициент $k=4 > 0$). Асимптотами являются оси координат. Составим таблицу значений для построения гиперболы:

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Прямая $y=x$ и гипербола $y=\frac{4}{x}$ пересекаются в двух точках. По графику определяем их координаты: (2; 2) и (-2; -2).

Ответ: (2; 2), (-2; -2).

б) $ \begin{cases} y + x^2 = 4, \\ y - x = 2; \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $y + x^2 = 4 \implies y = 4 - x^2$ или $y = -x^2 + 4$.
Это квадратичная функция, её график — парабола. Ветви параболы направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1).
Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
$y_0 = -0^2 + 4 = 4$.
Вершина находится в точке (0; 4).
Найдем точки пересечения с осью Ох (y=0): $0 = 4 - x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Точки (-2; 0) и (2; 0).

2. Преобразуем второе уравнение: $y - x = 2 \implies y = x + 2$.
Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:

• при $x=0, y=2$. Точка (0; 2).
• при $y=0, x=-2$. Точка (-2; 0).

3. Построим параболу и прямую на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках. По чертежу определяем их координаты: (-2; 0) и (1; 3).

Ответ: (-2; 0), (1; 3).

в) $ \begin{cases} x - y = 0, \\ y = 4x - x^2. \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $x - y = 0 \implies y = x$.
График этого уравнения — прямая, проходящая через начало координат (0; 0) и точку (1; 1).

2. Второе уравнение $y = 4x - x^2$ или $y = -x^2 + 4x$ — это квадратичная функция.
Её график — парабола, ветви которой направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_0 = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$.
Вершина находится в точке (2; 4).
Найдем точки пересечения с осью Ох (y=0): $0 = 4x - x^2 \implies x(4-x) = 0 \implies x=0$ или $x=4$. Точки (0; 0) и (4; 0).

3. Построим прямую и параболу на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках. Из построения видно, что это точки (0; 0) и (3; 3).

Ответ: (0; 0), (3; 3).

288 С помощью схематических графиков выясните, имеет ли система уравнений решения, и если имеет, то сколько:

а) $ \begin{cases} xy = 8, \\ y - x^3 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = -1, \\ x^3 - y = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ x - 2y = 2; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = x^2 + 8, \\ y = -x^2 + 12. \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 8 \\ y - x^3 = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения, чтобы выразить y через x:

$ \begin{cases} y = \frac{8}{x} \\ y = x^3 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = \frac{8}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Второе уравнение, $y = x^3$, задает кубическую параболу, которая проходит через начало координат и расположена также в I и III координатных четвертях.

Схематически изобразим эти графики. В первой четверти ($x>0$) график $y=x^3$ возрастает от 0 до $+\infty$, а график $y = \frac{8}{x}$ убывает от $+\infty$ до 0. Следовательно, они должны пересечься в одной точке. Аналогичная ситуация в третьей четверти ($x<0$), где графики обеих функций также существуют и должны пересечься в одной точке.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, что означает, что система имеет два решения.

Ответ: система имеет 2 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = -1 \\ x^3 - y = 0 \end{cases} $

Преобразуем уравнения:

$ \begin{cases} y = -\frac{1}{x} \\ y = x^3 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = -\frac{1}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Второе уравнение, $y = x^3$, задает кубическую параболу, расположенную в I и III координатных четвертях.

Схематически изобразив графики, мы видим, что они расположены в разных наборах четвертей. График $y=x^3$ существует там, где знаки x и y совпадают (или оба равны нулю), а график $y = -\frac{1}{x}$ — там, где знаки x и y противоположны. Точек пересечения нет, так как графики не имеют общих областей.

Алгебраическая проверка: приравняв выражения для y, получим $x^3 = -\frac{1}{x}$, или $x^4 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного x.

Ответ: система не имеет решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ x - 2y = 2 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = \sqrt{x}$, задает верхнюю ветвь параболы, открывающейся вправо. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. График расположен в I координатной четверти.

Второе уравнение, $x - 2y = 2$, является линейным. Выразим y: $2y = x - 2$, то есть $y = \frac{1}{2}x - 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$ и пересекающая ось y в точке $(0, -1)$.

Схематически изобразим графики. График $y = \sqrt{x}$ начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 1$ пересекает ось x в точке (2, 0). Для $x < 2$ прямая находится ниже оси x ($y<0$), в то время как для графика $y = \sqrt{x}$ всегда $y \ge 0$. Следовательно, пересечение возможно только при $x \ge 2$.

Поскольку кривая $y=\sqrt{x}$ вогнута вниз, а прямая $y = \frac{1}{2}x - 1$ имеет постоянный положительный наклон, они могут пересечься не более двух раз. Так как при $x=2$ кривая находится выше прямой ($y=\sqrt{2}$ против $y=0$), а при достаточно больших x прямая будет выше кривой, они должны пересечься ровно один раз.

Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: система имеет 1 решение.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} $

Первое уравнение, $y = x^2 + 8$, задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 8).

Второе уравнение, $y = -x^2 + 12$, задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 12).

Схематически изобразим графики. Вершина параболы, открывающейся вверх, находится в точке (0, 8). Вершина параболы, открывающейся вниз, находится в точке (0, 12). Поскольку вершина первой параболы лежит ниже вершины второй, а их ветви направлены в противоположные стороны, графики обязательно пересекутся. Так как обе параболы симметричны относительно оси y, они пересекутся в двух точках, симметричных относительно этой оси.

Это можно проверить алгебраически: $x^2 + 8 = -x^2 + 12 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2$, что дает два решения $x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: система имеет 2 решения.

289 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y + 6 = x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y - 1 = x^2 - 2x; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 - y = 3. \end{cases}$

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в системе и найти координаты точек их пересечения. Эти координаты и будут решениями системы.

a) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y + 6 = x^2 \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y + 6 = x^2$ можно переписать в виде $y = x^2 - 6$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -6)$.

Построим графики этих двух функций в одной системе координат. Окружность проходит через точки $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и $(0, -5)$. Парабола проходит через вершину $(0, -6)$ и, например, через точки $(\pm 1, -5)$, $(\pm 2, -2)$, $(\pm 3, 3)$.

Из графика видно, что окружность и парабола пересекаются в четырех точках, симметричных относительно оси OY. Определим их координаты приблизительно. Две точки находятся в верхней полуплоскости, а две — в нижней.

Приблизительные координаты точек пересечения:
Две точки с отрицательной ординатой: $(-1.1, -4.9)$ и $(1.1, -4.9)$.
Две точки с положительной ординатой: $(-3.1, 3.9)$ и $(3.1, 3.9)$.

Ответ: $(-3.1, 3.9)$, $(3.1, 3.9)$, $(-1.1, -4.9)$, $(1.1, -4.9)$.

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y - 1 = x^2 - 2x \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение $y - 1 = x^2 - 2x$ преобразуем, выделив полный квадрат: $y = x^2 - 2x + 1$, что равносильно $y = (x - 1)^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, 0)$.

Построим графики. Окружность проходит через точки $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Парабола имеет вершину в точке $(1, 0)$ и проходит, например, через точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$.

Вершина параболы $(1, 0)$ находится внутри окружности. Точка $(0, 1)$ также находится внутри окружности. Точка $(2, 1)$ находится вне окружности. Следовательно, графики пересекаются в двух точках. Одна точка находится в первом квадранте, другая — во втором.

Определим их координаты приблизительно по графику.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(-0.4, 1.9)$ и $(1.8, 0.8)$.

Ответ: $(-0.4, 1.9)$, $(1.8, 0.8)$.

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 - y = 3 \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение $x^2 - y = 3$ перепишем в виде $y = x^2 - 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -3)$.

Построим графики. Окружность проходит через точки $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Вершина параболы $(0, -3)$ совпадает с нижней точкой окружности, следовательно, это одна из точек пересечения.

Чтобы найти другие точки пересечения, можно подставить выражение для $x^2$ из второго уравнения ($x^2 = y + 3$) в первое:
$(y + 3) + y^2 = 9$
$y^2 + y - 6 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его:
$(y+3)(y-2) = 0$
Отсюда $y_1 = -3$ и $y_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y = -3$, то $x^2 = -3 + 3 = 0$, откуда $x = 0$. Получаем точку $(0, -3)$.
Если $y = 2$, то $x^2 = 2 + 3 = 5$, откуда $x = \pm \sqrt{5}$. Получаем две точки: $(\sqrt{5}, 2)$ и $(-\sqrt{5}, 2)$.
Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(0, -3)$, $(\sqrt{5}, 2)$, $(-\sqrt{5}, 2)$.