Номер 289, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 289, страница 105.

289 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y + 6 = x^2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y - 1 = x^2 - 2x; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 - y = 3. \end{cases}$

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в системе и найти координаты точек их пересечения. Эти координаты и будут решениями системы.

a) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y + 6 = x^2 \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y + 6 = x^2$ можно переписать в виде $y = x^2 - 6$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -6)$.

Построим графики этих двух функций в одной системе координат. Окружность проходит через точки $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и $(0, -5)$. Парабола проходит через вершину $(0, -6)$ и, например, через точки $(\pm 1, -5)$, $(\pm 2, -2)$, $(\pm 3, 3)$.

Из графика видно, что окружность и парабола пересекаются в четырех точках, симметричных относительно оси OY. Определим их координаты приблизительно. Две точки находятся в верхней полуплоскости, а две — в нижней.

Приблизительные координаты точек пересечения:
Две точки с отрицательной ординатой: $(-1.1, -4.9)$ и $(1.1, -4.9)$.
Две точки с положительной ординатой: $(-3.1, 3.9)$ и $(3.1, 3.9)$.

Ответ: $(-3.1, 3.9)$, $(3.1, 3.9)$, $(-1.1, -4.9)$, $(1.1, -4.9)$.

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y - 1 = x^2 - 2x \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение $y - 1 = x^2 - 2x$ преобразуем, выделив полный квадрат: $y = x^2 - 2x + 1$, что равносильно $y = (x - 1)^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, 0)$.

Построим графики. Окружность проходит через точки $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Парабола имеет вершину в точке $(1, 0)$ и проходит, например, через точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$.

Вершина параболы $(1, 0)$ находится внутри окружности. Точка $(0, 1)$ также находится внутри окружности. Точка $(2, 1)$ находится вне окружности. Следовательно, графики пересекаются в двух точках. Одна точка находится в первом квадранте, другая — во втором.

Определим их координаты приблизительно по графику.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(-0.4, 1.9)$ и $(1.8, 0.8)$.

Ответ: $(-0.4, 1.9)$, $(1.8, 0.8)$.

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 - y = 3 \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение $x^2 - y = 3$ перепишем в виде $y = x^2 - 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -3)$.

Построим графики. Окружность проходит через точки $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Вершина параболы $(0, -3)$ совпадает с нижней точкой окружности, следовательно, это одна из точек пересечения.

Чтобы найти другие точки пересечения, можно подставить выражение для $x^2$ из второго уравнения ($x^2 = y + 3$) в первое:
$(y + 3) + y^2 = 9$
$y^2 + y - 6 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его:
$(y+3)(y-2) = 0$
Отсюда $y_1 = -3$ и $y_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y = -3$, то $x^2 = -3 + 3 = 0$, откуда $x = 0$. Получаем точку $(0, -3)$.
Если $y = 2$, то $x^2 = 2 + 3 = 5$, откуда $x = \pm \sqrt{5}$. Получаем две точки: $(\sqrt{5}, 2)$ и $(-\sqrt{5}, 2)$.
Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: $(0, -3)$, $(\sqrt{5}, 2)$, $(-\sqrt{5}, 2)$.