Номер 292, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 292, страница 109.

Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 3(x - y) - 2(x + y) = 2x - 2y \\ \frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{3} = 1 - \frac{y}{15} \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 5(x + y) - 4(x - y) = 8y - 3x \\ \frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{6} = 3 \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3(x - y) - 2(x + y) = 2x - 2y, \\ \frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{3} = 1 - \frac{y}{15} \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:
$3(x - y) - 2(x + y) = 2x - 2y$
Раскроем скобки:
$3x - 3y - 2x - 2y = 2x - 2y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 5y = 2x - 2y$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ в другую:
$-5y + 2y = 2x - x$
$-3y = x$ или $x = -3y$.

Второе уравнение:
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{3} = 1 - \frac{y}{15}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (15), чтобы избавиться от дробей:
$15 \cdot \frac{x + y}{5} - 15 \cdot \frac{x - y}{3} = 15 \cdot 1 - 15 \cdot \frac{y}{15}$
$3(x + y) - 5(x - y) = 15 - y$
Раскроем скобки:
$3x + 3y - 5x + 5y = 15 - y$
Приведем подобные слагаемые:
$-2x + 8y = 15 - y$
$-2x + 8y + y = 15$
$-2x + 9y = 15$.

Теперь решим полученную систему уравнений: $$ \begin{cases} x = -3y \\ -2x + 9y = 15 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$-2(-3y) + 9y = 15$
$6y + 9y = 15$
$15y = 15$
$y = 1$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=1$ в уравнение $x = -3y$:
$x = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: $(-3; 1)$.

---

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5(x + y) - 4(x - y) = 8y - 3x, \\ \frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{6} = 3 \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:
$5(x + y) - 4(x - y) = 8y - 3x$
Раскроем скобки:
$5x + 5y - 4x + 4y = 8y - 3x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x + 9y = 8y - 3x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ в другую:
$x + 3x = 8y - 9y$
$4x = -y$ или $y = -4x$.

Второе уравнение:
$\frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{6} = 3$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (6):
$6 \cdot \frac{x - y}{2} - 6 \cdot \frac{x + y}{6} = 6 \cdot 3$
$3(x - y) - (x + y) = 18$
Раскроем скобки:
$3x - 3y - x - y = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$2x - 4y = 18$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$x - 2y = 9$.

Теперь решим полученную систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -4x \\ x - 2y = 9 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x - 2(-4x) = 9$
$x + 8x = 9$
$9x = 9$
$x = 1$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=1$ в уравнение $y = -4x$:
$y = -4 \cdot 1 = -4$.

Ответ: $(1; -4)$.